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呆哥解析:这是一个函数和复合函数的综合问题
首先我们先把原函数的值域求出来
先直接求导:
导数不容易判断单调性,我们再继续求导:
二阶导函数我们就没必要再导下去了,这里是可以放缩的。我们先来回顾一下常用的两个放缩:
我们就对二阶导函数采取放缩,判断它的正负:
为什么这样放缩呢?
这里我们来讲一下两个原则:
1.指对不能留。也就是说,要放缩,必须优先考虑放掉指数函数和对数函数!
2.对勾用均值。也就是说,出现了一个函数加另一个函数的倒数这种组合,我们优先考虑用均值不等式放缩掉它。这样放缩的提醒一般是:含有对数函数,这样定义域就大于0
回到正题,放缩完后,我们发现,二阶导函数是恒正的!
这样就可以判断导函数是递增的了
接下来就需要观察了,:1为导函数零点,这个就没有什么技巧了,纯粹看自己平时眼力的锻炼!所以把1代回原函数得到最小值:
那么值域相同是什么意思呢?这里为大家剖析下它的意思:
1.原函数在小于1的时候递减,在大于1的时候递增,这个是已知的条件,说明原函数有极小值
2.那么我们就知道,复合函数必须要有极小值,且和原函数相同,并且还要没有最大值,也就是说上限是无穷大,这样才可以保证值域相同
3.复合函数的极小值点可以不和原函数相同
那么这句话的意思翻译过来就是:
f(x)=1有解!
为什么呢?因为极小值点是1,如果有解的话,
f(f(x))就是可以分段的了,分段了才能出现极小值!
这个是复合函数出现极值的重要前提
举个例子,比如下面这个图像:
这时候,我们可以发现:
而复合函数在有极值情况下,极值大小是不会变的,改变的只是:极小值点
所以答案就出来了:a>=-1/6
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明日预告: