1、梯度下降-矩阵形式
上篇文章介绍了一元线性回归，包括Python实现和sklearn实现的实例、对比，以及一些问题点，详情可以看这里：
链接: 手写算法-Python代码实现一元线性回归
里面封装的one_variable_linear()类只适用于一元线性回归，
本篇文章修改代码，推广至多元线性回归，并介绍2种更简洁的方法。
先给大家复习一下矩阵的基本知识：
转置矩阵：
损失函数可表示为：
可以求得：矩阵形式下，偏导的表达式是：
下面附上我的推导证明过程(刚写的)：
有了上述表达式，我们修改上次的代码如下：
class linear(): def __init__(self): pass #梯度下降法迭代训练模型参数,x为特征数据，y为标签数据，a为学习率，epochs为迭代次数 def fit(self,x,y,a,epochs): #计算总数据量 m=x.shape[0] #给x添加偏置项 X = np.concatenate((np.ones((m,1)),x),axis=1) #计算总特征数 n = X.shape[1] #初始化W的值,要变成矩阵形式 W=np.mat(np.ones((n,1))) #X转为矩阵形式 xMat = np.mat(X) #y转为矩阵形式，这步非常重要,且要是m x 1的维度格式 yMat =np.mat(y.reshape(-1,1)) #循环epochs次 for i in range(epochs): W=W-a*xMat.T*(xMat*W-yMat) return W def predict(self,x,w): #这里的x也要加偏置，训练时x是什么维度的数据，预测也应该保持一样 return np.dot(x,w)1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
依然用上次的测试数据集，2个代码比较如下：
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn import datasets #sklearn生成数据集都在这里
from matplotlib import pyplot as plt
#生成一个特征的回归数据集
x,y=datasets.make_regression(n_features=1,noise=15,random_state=)
plt.scatter(x,y)
plt.show() class one_variable_linear(): #初始化参数，k为斜率，b为截距，a为学习率，n为迭代次数 def __init__(self,k,b,a,n): self.k =k self.b=b self.a=a self.n = n #梯度下降法迭代训练模型参数 def fit(self,x,y): #计算总数据量 m=len(x) #循环n次 for i in range(self.n): b_grad=0 k_grad=0 #计算梯度的总和再求平均 for j in range(m): b_grad += (1/m)*((self.k*x[j]+self.b)-y[j]) k_grad += (1/m)*((self.k*x[j]+self.b)-y[j])*x[j] #更新k,b self.b=self.b-(self.a*b_grad) self.k=self.k-(self.a*k_grad) #每迭代10次，就输出一次图像 if i%10==0: print('迭代{0}'.format(i)+'次') plt.plot(x,y,'b.') plt.plot(x,self.k*x+self.b,'r') plt.show() self.params= {'k':self.k,'b':self.b} #输出系数 return self.params #预测函数 def predict(self,x): y_pred =self.k * x + self.b return y_pred
lr=one_variable_linear(k=1,b=1,a=0.1,n=60)
lr.fit(x,y)1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
旧代码得到的参数如上，
新代码得到的参数如下：
model = linear()
w = model.fit(x,y,a=0.1,epochs=50)
print(w)1
2
3
我的天，这是什么鬼，怎么和上面的差的这么多(其实是我故意的)，明显这个是不正确的，模型完全没有收敛，问题在哪里？
我们细想一下，正常的梯度下降法，前面是带m的，而矩阵形式，我们直接约掉了m,相当于学习率就被放大了m倍，所以这里学习率a应该设置为a/m=0.001，这样a就相等了，迭代次数也相等，冥冥中感觉这次的系数应该是一样的才对。再跑一下代码：
w = model.fit(x,y,a=0.001,epochs=50)
print(w)1
2
3
哈哈，完全一样，破案了，这里也解释了，之前说的，为什么损失函数前面1/2m这个值，其实对模型的参数没有影响，
但是你的学习率要选择得对，不能可能无法收敛。
现在这个类就是Python线性回归代码的一般式了，设置合理的学习率和迭代次数，就会得到不错的结果。
2、标准方程法
下面来介绍第二种方法，标准方程法。
有了前面的铺垫，这里就很容易理解了，损失函数：
因为这是一个凸函数，因此一定有极小值。根据最小二乘法的原理，我们要对这个损失函数对θ向量求导取0。结果如下式：
这个推导过程中也可以看到，1/2m对最终的系数没有影响，可以直接被约掉。
编写标准方程法代码如下：
class normal(): def __init__(self): pass def fit(self,x,y): m=x.shape[0] X = np.concatenate((np.ones((m,1)),x),axis=1) xMat=np.mat(X) yMat =np.mat(y.reshape(-1,1)) xTx=xMat.T*xMat #xTx.I为xTx的逆矩阵 ws=xTx.I*xMat.T*yMat return ws model =normal()
model.fit(x,y)1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
求出来的参数为：
这里要注意：XTX的逆矩阵不是什么时候都可以求得出来的，以下情况求不到XTX的逆矩阵：
1、特征数据高度线性相关；
2、n >>m，即特征数量大于样本数量，此时为非满秩矩阵；
sklearn实现对比标准方程法
from sklearn.linear_model import LinearRegression
LR=LinearRegression()
LR.fit(x,y)
LR.intercept_,LR.coef_1
2
3
4
和编写的标准方程法得到的参数一模一样，这里回答了之前说过为什么梯度下降法得到的参数和sklearn里面得到的参数不一样的问题，也说明了sklearn中封装的是标准方程法，毕竟真的简单！
下篇介绍非线性回归，当数据表现为非线性时，该怎么处理。
文章来源: ，作者：Dream-YH，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。
原文链接：/weixin_44700798/article/details/110452229
