平滑样条法

样条平滑是一种关于一般类的强大而灵活的建模技术，应用包括多项式，周期，球面，薄板，L-和部分样条，以及更高级模型的概述，包括平滑样条线ANOVA，扩展和广义平滑样条ANOVA，矢量样条，非参数非线性回归，半参数回归和半参数混合效应模型。

样条

样条是一种分段的低阶多项式逼近函数，可应用于具有不同非线性度或者存在多个极值点的函数。它包含两类：多项式样条和光滑样条。多项式样条可以解决很多问题，但是理论与实践都表明直接用最小二乘去求解系数效果不好，容易过拟合。一个可能的改进是光滑样条。所谓的光滑样条，就是在求解最小二乘时给估计函数( f(x) )加上了一定的惩罚，这个有点类似压缩估计。

光滑样条

R的splines包中提供了函数smooth.spline来求解光滑样条。

spline函数的功能：对给定数据点执行三次（或Hermite）样条插值，返回通过插值获得的点列表或执行插值的函数。

#help("spline")时列出所包含的函数splinefun(x, y = NULL,method = c("fmm", "periodic", "natural", "monoH.FC", "hyman"),ties = mean)spline(x, y = NULL, n = 3*length(x), method = "fmm",xmin = min(x), xmax = max(x), xout, ties = mean)splinefunH(x, y, m)

输入：可以包含NA值，但至少需要一个完整的(x,y)对；method指定采用的方法，“fmm”，则使用的样条是Forsythe，Malcolm和Moler（通过数据每端的四个点拟合精确的立方体，这用于确定结束条件）。当method =“natural”时使用自然样条线，当method =“periodic”时使用周期样条线。“monoH.FC”是指根据Fritsch和Carlson的方法计算单调Hermite样条。Method=”hyman”指使用适合严格单调输入“fmm”的Hyman滤波来计算单调三次样条。输出：样条曲线返回一个包含x和y的列表，并给出了插值发生的纵坐标及其对应的值。

smooth.spline：使用立方平滑样条拟合所提供的数据。

smooth.spline(x, y = NULL, w = NULL, df, spar = NULL, lambda = NULL, cv = FALSE,all.knots = FALSE, nknots = .nknots.smspl,keep.data = TRUE, df.offset = 0, penalty = 1,control.spar = list(), tol = 1e-6 * IQR(x), keep.stuff = FALSE)

x：指定需要预测变量值（向量，列表或包含y的两列矩阵），y可缺失，则有x指定；x和y都不被允许有NA值；w：指定每个变量值x的权重，因此该向量长度与x相同，默认情况下全为1；df：指期望的自由度数（平滑矩阵的轨迹），区间范围是(1,len(x)]；spar：平滑参数，区间范围(0,1]，当指定spar时，在拟合标准中的平方二阶导数的积分系数λ是spar的单调函数；lambda：可以指定内部平滑参数λ而不是spar，这对于重采样（例如交叉验证或bootstrap）是有作用的；

如果spar和lambda都为空，df的值就用于确定平滑的自由度，若df也为空，leave-one-out交叉验证用于确定参数λ

示例：

smoother=function(x,g) {ord=order(g); t=smooth.spline(x[ord]); }

输出值：

- x：升序后的x值；

- y：对应于x的拟合值；

- w：x唯一值时使用的权重；