今天意外发现matlab的曲线拟合工具箱cftool,转自/chenyusiyuan/article/details/1942605,希望以后能用到
一、 单一变量的曲线逼近
Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool ,使用方便,能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。下面结合我使用的 Matlab Rb 来简单介绍如何使用这个工具箱。
假设我们要拟合的函数形式是 y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。
1、在命令行输入数据:
》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475];
》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50];
2、启动曲线拟合工具箱
》cftool
3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”
(1)点击“Data”按钮,弹出“Data”窗口;
(2)利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y,可修改数据集名“Data set name”,然后点击“Create data set”按钮,退出“Data”窗口,返回工具箱界面,这时会自动画出数据集的曲线图;
(3)点击“Fitting”按钮,弹出“Fitting”窗口;
(4)点击“New fit”按钮,可修改拟合项目名称“Fit name”,通过“Data set”下拉菜单选择数据集,然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型,工具箱提供的拟合类型有:
· Custom Equations:用户自定义的函数类型
· Exponential:指数逼近,有2种类型, a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x)
· Fourier:傅立叶逼近,有7种类型,基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)
· Gaussian:高斯逼近,有8种类型,基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
· Interpolant:插值逼近,有4种类型,linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
· Polynomial:多形式逼近,有9种类型,linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
· Power:幂逼近,有2种类型,a*x^b 、a*x^b + c
· Rational:有理数逼近,分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~;此外,分子还包括constant型
· Smoothing Spline:平滑逼近(翻译的不大恰当,不好意思)
· Sum of Sin Functions:正弦曲线逼近,有8种类型,基础型是 a1*sin(b1*x + c1)
· Weibull:只有一种,a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
选择好所需的拟合曲线类型及其子类型,并进行相关设置:
——如果是非自定义的类型,根据实际需要点击“Fit options”按钮,设置拟合算法、修改待估计参数的上下限等参数;
——如果选Custom Equations,点击“New”按钮,弹出自定义函数等式窗口,有“Linear Equations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。
在本例中选Custom Equations,点击“New”按钮,选择“General Equations”标签,输入函数类型y=a*x*x + b*x,设置参数a、b的上下限,然后点击OK。
(5)类型设置完成后,点击“Apply”按钮,就可以在Results框中得到拟合结果,如下例:
general model:
f(x) = a*x*x+b*x
Coefficients (with 95% confidence bounds):
a = 0.009194 (0.009019, 0.00937)
b = 1.78e-011 (fixed at bound)
Goodness of fit:
SSE: 6.146
R-square: 0.997
Adjusted R-square: 0.997
RMSE: 0.8263
同时,也会在工具箱窗口中显示拟合曲线。
这样,就完成一次曲线拟合啦,十分方便快捷。当然,如果你觉得拟合效果不好,还可以在“Fitting”窗口点击“New fit”按钮,按照步骤(4)~(5)进行一次新的拟合。
不过,需要注意的是,cftool 工具箱只能进行单个变量的曲线拟合,即待拟合的公式中,变量只能有一个。对于混合型的曲线,例如 y = a*x + b/x ,工具箱的拟合效果并不好。
二 实战篇
一种非线性函数的曲线拟合方法(函数公式: k = A*(T^a)*exp(E/T) )
原始数据如下:
T(K) K
200.00 2.5069E-13
220.00 3.5043E-13
223.00 3.6741E-13
225.00 3.7904E-13
250.00 5.4617E-13
275.00 7.5744E-13
295.00 9.6192E-13
298.00 9.9551E-13
300.00 1.0183E-12
325.00 1.3346E-12
350.00 1.7119E-12
375.00 2.1564E-12
400.00 2.6739E-12
425.00 3.2706E-12
450.00 3.9527E-12
475.00 4.7261E-12
480.00 4.8922E-12
500.00 5.5968E-12
525.00 6.5710E-12
550.00 7.6544E-12
575.00 8.8529E-12
600.00 1.0172E-11
800.00 2.5705E-11
1000.00 5.1733E-11
1250.00 1.0165E-10
目标:拟合成k = A*(T^a)*exp(E/T)模式的公式,
其中A、a和E为未知常数,是我们需要通过曲线拟合要求出的数据。
拟合目标中的公式是幂逼近和指数逼近的混合,用Matlab的cftool 工具箱的自定义函数来逼近,效果并不理想,所以我就参考了网上的一些博客和百度知道等资源,采取如下策略:
首先将非线性的拟合公式转化为线性公式,再用求解线性方程组的矩阵方法求出未知常数的值。
具体地说,拟合公式的线性化表达式为: log(k) = log(A) + a*log(T) + E/T 。这里有三个未知常数log(A)、a 和 E,则依次取T,K各三个数据,组成 N 个线性方程组: Cx=b,
其中:x=[log(A), a, E], C=[1, log(T), 1/T], b=log(k) 。
解这些线性方程组,得到所有方程组的解组成的解矩阵 xMat,其大小为 N*3,对解矩阵的每一列求平均,即可得到所求的未知常数值。
根据以上策略,可求得未知常数A、a和E的值如下:
A = 3.8858e-020,a = 3.0595,E = -117.2915
程序源码:
function [A,a,E]= fun_NLFit(T,K)
% 函数 FUN_NLFIT() 根据输入T,K的数据集,求出拟合公式 k = A*(T^a)*exp(E/T)
% 的未知常数 A,a,E 。
logT=log(T);
logK=log(K);
daoT=T.^(-1);
lenT=length(T);
C=ones(3);
xMat=[];
% 为了提高拟合精度,从第一个数据点开始,依次分别取T、K的三个相邻的数据点
% 组成线性方程组,若 T 有 lenT 个元素,则可组成 lenT-2 个方程组
for r=1:lenT-2
C(:,2)=logT(r:r+2);
C(:,3)=daoT(r:r+2);
b=logK(r:r+2);
% C=[1 log(T) 1/T], b=log(k)
x=(C/b)';
xMat=[xMat; x];
% 每解一次方程组,则将解 x 存入解矩阵 xMat
end
% 对解矩阵的每一列求平均,即可得到所求的未知常数值
logA=mean(xMat(:,1));
A=exp(logA);
a=mean(xMat(:,2));
E=mean(xMat(:,3));
% 画出由点集T、K构成的目标曲线
h1=stem(T,K,'bo'); % ‘bo’表示每个点用一个小圆圈表示
set(h1,'MarkerFaceColor','green'); % 小圆圈内的颜色为绿色
set(h1,'LineStyle','none'); % 隐藏基线到点的连线
set(get(h1,'BaseLine'),'LineStyle','none'); % 隐藏基线
hold on; % 保持由点集构成的目标曲线,以便和拟合曲线进行对比
% 根据拟合公式,求出若干的拟合点,画出拟合曲线
t=200:10:1300;
k=A*(t^a)*exp(E/t);
plot(t,k,'r');
% 拟合曲线用红色表示
xlabel('T'); ylabel('K'); title('Nonlinear Curve Fitting');
拟合效果图如下: