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在这里，我们放宽了流行的线性方法的假设。最近我们被客户要求撰写关于非线性模型的研究报告，包括一些图形和统计输出。有时线性假设只是一个很差的近似值。有许多方法可以解决此问题，其中一些方法可以通过使用正则化方法降低模型复杂性来解决。但是，这些技术仍然使用线性模型，到目前为止只能进行改进。本文本专注于线性模型的扩展

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非线性模型原理与R语言多项式回归、局部平滑样条、 广义相加模型GAM分析

，时长05:41

视频：R语言广义相加模型（GAM）在电力负荷预测中的应用

拓端tecdat：R语言广义相加模型（GAM）在电力负荷预测中的应用

多项式回归 这是对数据提供非线性拟合的简单方法。

阶跃函数将变量的范围划分为K个不同的区域，以生成定性变量。这具有拟合分段常数函数的效果。

回归样条比多项式和阶跃函数更灵活，并且实际上是两者的扩展。

局部样条曲线类似于回归样条曲线，但是允许区域重叠，并且可以平滑地重叠。

平滑样条曲线也类似于回归样条曲线，但是它们最小化平滑度惩罚的残差平方和准则 。

广义加性模型允许扩展上述方法以处理多个预测变量。

多项式回归

这是扩展线性模型的最传统方法。随着我们增加多项式的项，多项式回归使我们能够生成非线性的曲线，同时仍使用最小二乘法估计系数。

逐步回归

它经常用于生物统计学和流行病学中。

回归样条

回归样条是扩展多项式和逐步回归技术的许多基本函数之一。事实上。多项式和逐步回归函数只是基函数的特定情况。

这是分段三次拟合的示例（左上图）。

为了解决此问题，更好的解决方案是采用约束，使拟合曲线必须连续。

选择结的位置和数量

一种选择是在我们认为变化最快的地方放置更多的结，而在更稳定的地方放置更少的结。但是在实践中，通常以统一的方式放置结。

要清楚的是，在这种情况下，实际上有5个结，包括边界结。

那么我们应该使用多少个结？一个简单的选择是尝试许多个结，然后看哪个会产生最好的曲线。但是，更客观的方法是使用交叉验证。

与多项式回归相比，样条曲线可以显示出更稳定的效果。

平滑样条线

我们讨论了回归样条曲线，该样条曲线是通过指定一组结，生成一系列基函数，然后使用最小二乘法估计样条系数而创建的。平滑样条曲线是创建样条曲线的另一种方法。让我们回想一下，我们的目标是找到一些非常适合观察到的数据的函数，即最大限度地减少RSS。但是，如果对我们的函数没有任何限制，我们可以通过选择精确内插所有数据的函数来使RSS设为零。

选择平滑参数Lambda

同样，我们求助于交叉验证。事实证明，我们实际上可以非常有效地计算LOOCV，以平滑样条曲线，回归样条曲线和其他任意基函数。

平滑样条线通常比回归样条线更可取，因为它们通常会创建更简单的模型并具有可比的拟合度。

局部回归

局部回归涉及仅使用附近的训练观测值来计算目标点x0处的拟合度 。

可以通过各种方式执行局部回归，尤其是在涉及拟合p线性回归模型的多变量方案中尤为明显，因此某些变量可以全局拟合，而某些局部拟合。

广义加性模型

GAM模型提供了一个通用框架，可通过允许每个变量的非线性函数扩展线性模型，同时保持可加性。

具有平滑样条的GAM并不是那么简单，因为不能使用最小二乘。取而代之的是使用一种称为反向拟合的方法。

GAM的优缺点

优点

GAM允许将非线性函数拟合到每个预测变量，以便我们可以自动对标准线性回归会遗漏的非线性关系进行建模。我们不需要对每个变量分别尝试许多不同的转换。

非线性拟合可以潜在地对因变量Y做出更准确的预测。

因为模型是可加的，所以我们仍然可以检查每个预测变量对Y的影响，同时保持其他变量不变。

缺点

主要局限性在于该模型仅限于累加模型，因此可能会错过重要的交互作用。

范例

多项式回归和阶跃函数

library(ISLR)attach(Wage)

我们可以轻松地使用来拟合多项式函数，然后指定多项式的变量和次数。该函数返回正交多项式的矩阵，这意味着每列是变量的变量的线性组合age，age^2，age^3，和age^4。如果要直接获取变量，可以指定raw=TRUE，但这不会影响预测结果。它可用于检查所需的系数估计。

fit = lm(wage~poly(age, 4), data=Wage)kable(coef(summary(fit)))

现在让我们创建一个ages我们要预测的向量。最后，我们将要绘制数据和拟合的4次多项式。

ageLims <- range(age)age.grid <- seq(from=ageLims[1], to=ageLims[2])pred <- predict(fit, newdata = list(age = age.grid),se=TRUE)

plot(age,wage,xlim=ageLims ,cex=.5,col="darkgrey")lines(age.grid,pred$fit,lwd=2,col="blue")matlines(age.grid,se.bands,lwd=2,col="blue",lty=3)

在这个简单的示例中，我们可以使用ANOVA检验 。

## Analysis of Variance Table## ## Model 1: wage ~ age## Model 2: wage ~ poly(age, 2)## Model 3: wage ~ poly(age, 3)## Model 4: wage ~ poly(age, 4)## Model 5: wage ~ poly(age, 5)## Res.DfRSS Df Sum of SqF Pr(>F) ## 1 2998 5022216 ## 2 2997 4793430 1 228786 143.59 <2e-16 ***## 3 2996 4777674 115756 9.89 0.0017 ** ## 4 2995 4771604 16070 3.81 0.0510 . ## 5 2994 4770322 11283 0.80 0.3697 ## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

我们看到，_M_1与二次模型相比，p值_M_2实质上为零，这表明线性拟合是不够的。 因此，我们可以得出结论，二次方或三次模型可能更适合于此数据，并且偏向于简单模型。

我们也可以使用交叉验证来选择多项式次数。

在这里，我们实际上看到的最小交叉验证误差是针对4次多项式的，但是选择3次或2次模型并不会造成太大损失。接下来，我们考虑预测个人是否每年收入超过25万。

但是，概率的置信区间是不合理的，因为我们最终得到了一些负概率。为了生成置信区间，更有意义的是转换对数预测。

绘制：

plot(age,I(wage>250),xlim=ageLims ,type="n",ylim=c(0,.2))lines(age.grid,pfit,lwd=2, col="blue")matlines(age.grid,se.bands,lwd=1,col="blue",lty=3)

逐步回归函数

在这里，我们需要拆分数据。

table(cut(age, 4))

## ## (17.9,33.5] (33.5,49] (49,64.5] (64.5,80.1] ## 750 1399 77972

fit <- lm(wage~cut(age, 4), data=Wage)coef(summary(fit))

## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## (Intercept) 94.1581.476 63.790 0.000e+00## cut(age, 4)(33.5,49]24.0531.829 13.148 1.982e-38## cut(age, 4)(49,64.5]23.6652.068 11.443 1.041e-29## cut(age, 4)(64.5,80.1] 7.6414.987 1.532 1.256e-01

splines样条函数

在这里，我们将使用三次样条。

由于我们使用的是三个结的三次样条，因此生成的样条具有六个基函数。

## [1] 3000 6dim(bs(age, df=6))## [1] 3000 6## 25% 50% 75% ## 33.75 42.00 51.00

拟合样条曲线。

我们也可以拟合平滑样条。在这里，我们拟合具有16个自由度的样条曲线，然后通过交叉验证选择样条曲线，从而产生6.8个自由度。

fit2$df## [1] 6.795lines(fit, col='red', lwd=2)lines(fit2, col='blue', lwd=1)legend('topright', legend=c('16 DF', '6.8 DF'),col=c('red','blue'), lty=1, lwd=2, cex=0.8)

局部回归

执行局部回归。

GAMs

现在，我们使用GAM通过年份，年龄和受教育程度的样条来预测工资。由于这只是具有多个基本函数的线性回归模型，因此我们仅使用lm()函数。

为了拟合更复杂的样条曲线 ，我们需要使用平滑样条曲线。

绘制这两个模型

year是线性的。我们可以创建一个新模型，然后使用ANOVA检验 。

## Analysis of Variance Table## ## Model 1: wage ~ ns(age, 5) + education## Model 2: wage ~ year + s(age, 5) + education## Model 3: wage ~ s(year, 4) + s(age, 5) + education## Res.DfRSS Df Sum of Sq F Pr(>F) ## 1 2990 3712881## 2 2989 3693842 119040 15.4 8.9e-05 ***## 3 2986 3689770 34071 1.1 0.35 ## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

似乎添加线性year成分要比不添加线性成分的GAM好得多。

## ## Deviance Residuals:##Min1Q Median3QMax ## -119.43 -19.70 -3.33 14.17 213.48 ## ## (Dispersion Parameter for gaussian family taken to be 1236)## ##Null Deviance: 5222086 on 2999 degrees of freedom## Residual Deviance: 3689770 on 2986 degrees of freedom## AIC: 29888 ## ## Number of Local Scoring Iterations: 2 ## ## Anova for Parametric Effects## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) ## s(year, 4) 1 27162 2716222 2.9e-06 ***## s(age, 5)1 195338 195338158 < 2e-16 ***## education4 1069726 267432216 < 2e-16 ***## Residuals 2986 3689770 1236## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1## ## Anova for Nonparametric Effects## Npar Df Npar F Pr(F) ## (Intercept)## s(year, 4) 3 1.1 0.35 ## s(age, 5) 4 32.4 <2e-16 ***## education ## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

在具有非线性关系的模型中，我们可以再次确认year对模型没有贡献。

接下来，我们 将局部回归拟合GAM 。

在调用GAM之前，我们还可以使用局部回归来创建交互项。

我们可以 绘制结果曲面图 。