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1、结构力学,2 / 42,第七节 平面刚架受力分析,1、离散化,将结构离散成单元的分割点称作结点。,结点的选择:转折点、汇交点、支承点、刚度变化、荷载作用点等,编码：,坐标系：,曲杆结构:以直代曲.,变截面杆:以等截面杆代变截面杆。,3 / 42,2、局部坐标系下的平面单元分析,几何量：,位移量：,内力值：,方 向：,建立单元杆端力和单元杆端位移的关系,单元结点位移：,单元结点力：,第七节 平面刚架受力分析,4 / 42,1纵向：,在杆件两端加上人为控制的附加约束，然后根据指定位移来推算杆端力。 由假设知道，轴向受力状态与弯曲受力状态互不影响。,第七节 平面刚架受力分析,刚度方程,刚度矩阵,5 。
2、/ 42,2横向：(由形常数得到),第七节 平面刚架受力分析,6 / 42,矩阵形式的刚度方程,第七节 平面刚架受力分析,综合写成一般平面单元刚度方程：,7 / 42,3单元刚度矩阵的性质,系数的物理意义： 单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之关系；矩阵的阶数与位移分量数相等； 表示 引起的杆端力 的大小。,单元刚度矩阵一般具有奇异性： 受力角度存在刚体位移； 数学角度向量相关,单元刚度矩阵具有对称性： 由功的互等定理可知,第七节 平面刚架受力分析,8 / 42,4 整体座标系下的平面单元,局部坐标系,整体坐标系,变换,第七节 平面刚架受力分析,9 / 42,矩阵形式的变换式,第七节 平面刚架受力。
3、分析,变换矩阵具有正交性,10 / 42,由,整体坐标系下单元刚度矩阵与局部坐标系下的单元刚度矩阵同阶且性质相同,整体坐标系下的单元刚度方程,整体坐标系下的单元刚度矩阵,第七节 平面刚架受力分析,整体坐标系下的单元刚度方程的分块表示,11 / 42,5、整体坐标系下单元刚度矩阵计算,已知:,求: 各单元整体坐标系下单元刚度矩阵,解:,第七节 平面刚架受力分析,12 / 42,第七节 平面刚架受力分析,13 / 42,6、利用物理意义速算法,令:,则有:,第七节 平面刚架受力分析,14 / 42,1.结点力与结点位移的关系,结点力,结点位移,第七节 平面刚架受力分析,15 / 42,变形协调条件。
4、,结点1平衡条件:,结点2平衡条件:,结点3平衡条件:,第七节 平面刚架受力分析,16 / 42,第七节 平面刚架受力分析,17 / 42,结构原始整体刚度方程,第七节 平面刚架受力分析,18 / 42,2.结构原始整体刚度矩阵的形成,采用“对号入座”的方法,第七节 平面刚架受力分析,19 / 42,3.单元刚度矩阵子块在整体刚度矩阵中的分布规律,主子块-主对角线上的子块.,付子块-非主对角线上的子块.,相关结点-有单元相连的结点.,相关单元-与结点相连的单元称为 该结点的相关单元.,规律:,(1)若i,j为相关结点, 为连接 i,j结点的单元单刚的相应付 子块;若不是相关结点,(2)主子块 。
5、为 i 结点的相关单 元单刚主子块之和.,第七节 平面刚架受力分析,20 / 42,4.整体刚度矩阵中元素的物理意义,则有:,若令:,第七节 平面刚架受力分析,21 / 42,练习:求整体刚度矩阵中第四列元素,第七节 平面刚架受力分析,22 / 42,(1).对称性：由反力互等定理,5.原始整体刚度矩阵的性质,(2).奇异性：没有考虑约束的结构的刚体位移无法确定,(3).稀疏性：对于不相关的结点，对应的刚度系数等于零,第七节 平面刚架受力分析,23 / 42,6.整体刚度矩阵的存贮,第七节 平面刚架受力分析,按带宽存贮,24 / 42,变带宽存贮,变半带宽存贮,等带宽存贮,等半带宽存贮,等半带。
6、宽计算公式:,d =(相关结点最大差值+1)单结点位移数,第七节 平面刚架受力分析,25 / 42,19层,整体刚度矩阵占用存贮单元:,整体刚度矩阵占用存贮单元:,第七节 平面刚架受力分析,首先考察编码方式,半带宽与结点编码有关,如何减小带宽？,26 / 42,后处理法(置0置1法、置大数法),第七节 平面刚架受力分析,7.边界条件引入,先处理法(已知0位移处位移码取0),27 / 42,练习：求图示结构总刚度矩阵中元素,EI、EA为常数，各杆长度相同。,第七节 平面刚架受力分析,28 / 42,一.离散化,1. 后处理法的结点位移编码,2. 考虑轴向变形时先处理法的结点位移编码,3. 不计轴。
7、向变形时先处理法的结点位移编码,习题讨论,29 / 42,二. 单元分析,1. 单元刚度方程表示什么量之间的关系方程?,2. 单元刚度矩阵(自由式单元)是什么样的矩阵?,3. 单刚元素k23 的物理意义是什么?,4. 坐标转换矩阵是一个什么样的矩阵?,5. 局部坐标系下的杆端位移与整体坐标下的有何关系?,6. 单元刚度矩阵均是奇异矩阵吗?,30 / 42,7. 求图示结构 2 单元的坐标转换矩阵中的元素T11，T12,31 / 42,8. 试写出桁架单元坐标转换矩阵的扩展矩阵.,32 / 42,三. 整体分析,1.结构刚度方程是整体结构所应满足的变形协调条件吗?,2.总刚元素 的物理意义是什么。
8、?,3.试写出图示刚架2单元的单元定位向量.,33 / 42,4. 图示结构2单元的整体单刚元素k23 应放在总刚的什么位置?,按刚度系数的物理意义求总刚元素k65 ， k55 ( EA=常数),34 / 42,6. 先处理法求图示结构总刚 (不计轴变),7. 先处理法求图示结构总刚 (不计轴变),35 / 42,8. 等效结点荷载的代数值等于汇交于该结点的所有单元固端力之代数和。此结论对否?,9. 试求图示结构的荷载列阵(先、先处理法)。,36 / 42,10.试求图示结构的荷载列阵(先、后处理法).,37 / 42,11.试求图示结构(不计轴变)的荷载列阵(先处理法).,38 / 42,四。
9、. 求杆端力,1. 连续梁在一般荷载作用下单元杆端力由下式计算是否正确?,2.已知：图示结构(不计轴变，EI=常数)的结点位移为,求:1单元的杆端力,39 / 42,整体分析总结,1) 对局部坐标和整体坐标不一致的单元，要对刚度、荷载进行坐标转换。,2) 需对“结构”进行结点、位移的局部和整体编号。,4) 集装所得整体刚度矩阵是对称、带状稀疏矩阵，支撑条件能限制刚体位移时，矩阵非奇异。,3) 根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用定位向量位移码送元素，定位向量元素为零时不送。据此可集装、累加得到整体刚度矩阵。,5) 综合荷载由两部分组成，因此首先要将直接作用结点的荷载按结点位移码送入，如果还。
10、有单元等效荷载，再按定位向量集装、累加。,40 / 42,8) 如果有某位移码方向弹性支撑，需进行将弹簧刚度送入位移码对应的对角线元素位置累加。,9) 如果有某位移码方向已知支撑位移，需进行将 “边界条件处理”。具体做法以后介绍。,7) 整体刚度方程实质是全部结点的平衡条件。,6) 刚度矩阵带状稀疏，其带宽取决于结点、位移 编码。 最大半带宽=定位向量中最大元素差+1。 最大半带宽=(单元结点码最大差+1) 单结点位移数。,41 / 42, 3) 关于斜边界的处理,如图示意的斜支座情况，有多种处理方案。,3-1) 通过单元的坐标转换来处理,图示有斜支座单元，r 结点处 以倾角 - 来进行坐标转换，也 即在r 结点处整体坐标为图示 xy 。,3-2) 通过增加一个单元来处理,图示有斜支座单元，r 结点处沿 y 方向增加一个 刚结的单元，此单元有“无穷大”的抗拉刚度、但 没有抗弯刚度。单元长度可任意。,42 / 42,几点重要说明,(1)本章方法、思路具有普遍性。特别是整体分析，其方法、结论完全适用于其他有限元分析。,(2)为用矩阵位移法分析实际结构，首先要做离散化：建立两套坐标、确定结点、单元、位移编号。此时要注意尽可能使半带宽最小。
