机械臂的动力学分析-工业机器人

工业机器人动力学研究采用的方法有很多，例如拉格朗日法、牛顿-欧拉法、高斯法、凯恩法等，在此重点介绍牛顿-欧拉法和拉格朗日法。牛顿-欧拉法需要从运动学出发求得加速度，并计算各内作用力。对于较复杂的系统，此种分析方法十分复杂与麻烦。而拉格朗日法，只需要速度而不必求内作用力，是一种基于能量的系统分析方法。

通过建立机械臂的动力学方程来确定力-质量-加速度以及力矩-惯量-加速度之间的关系, 并考虑外部负载，计算出驱动器所受的最大载荷，进而计算出机械臂在特定运动时驱动器需要提供的力和力矩。机械臂的自由度越多，其动力学也越复杂，而且机械臂各关节还存在耦合问题和非线性问题等，因此借助 ADAMS 软件，模拟机械臂在不同工况下的运动情况，求解出各关节的最大力矩，从而对驱动器所提供的驱动力进行验证。

机械臂动力学的研究方法，主要有牛顿-欧拉法、拉格朗日法、高斯法和旋量对偶数法等[51-53]。由于机械臂是一种复杂的多自由度机械装置，用牛顿-欧拉法分析机械臂动力学十分复杂和困难。用拉格朗日法建立运动学方程，只需要考虑系统能量而不必求内作用力 。本文采用拉格朗日法对六自由度机械臂动力学进行分析。机器人运动学方程，,亦即

式中，r称为机器人末端在操作空间的广义速度，简称操作速度；为关节速度；是m×n的偏导数矩阵，称为工业机器人的雅可比矩阵。

在控制装置中，把运动参数的目标值作为控制量，把当前机器人相应运动参数的实际值作为反馈信号，把关节力矩值作为操作量，构成典型的负反馈控制系统。

牛顿-欧拉法是基于力平衡的原理，既要考虑外力，又需要计算内力，对于多自由度机器人来说，推导过程非常复杂。本节将介绍的拉格朗日法(Lagrange Formulation)是基于能量平衡的概念，只需考虑外力和在外力作用下的运动，不用计算内力，计算过程简洁。拉格朗日函数L定义为系统的动能与势能 之差，即：

同时可知，基于拉格朗日法的动力学方程推导过程可以分五步进行：

1、计算各连杆在基座坐标系中的速度；

2、计算机器人各部分的动能之和，需要特别注意，每个连杆的动能包括连杆的平动部分的动能和绕连杆质心转动的动能两部分；

3、计算机器人各部分的势能之和；

4、建立机器人系统的拉格朗日函数；

5对拉格朗日函数求导以得到动力学方程式。机器人的杆件1是定轴转动，其动能为：

机器人的其它杆件是平面运动，其动能为：

比较上面两式可知，具有统一的表达方式：

K=12mv2+12Iω2

式中,v是连杆质心速度,ω是连杆角速度,I是连杆对关节的转动惯量。连杆上某一 点的速度可以通过对该点的位置方程求导得到。可以采用 D-H 变换矩阵ii-1T对其关节 变量的导数θi求得连杆上某一点的速度。对于机械臂的某一旋转关节:

∂ii-1T∂θi=∂∂θicθi-sθicαisθicαiαicθisθicθicαi-cθisαiαisθi0sαicαidi0001=-sθi-cθicαicθicαi-αicθicθi-sθicαisθisαiαisθi0sαicαidi0001

将相同的求导方法推广到多个关节变量的变换矩阵i0T, 对其中一个关节变量qj求导可得:Uij=∂i0T∂qj=∂10T21T…ii-1T∂qj

若用ri表示机械臂第i连杆坐标系上的一点, 则可以通过左乘一个变换矩阵得到该点在 基坐标系中的位置:pi=i0Tri

对式(6.6)所有关节变量求导, 则可以得到该点的速度:

vi=ddti0Tri=j=1i ∂i0T∂qidqjdtri=j=1i Uijdqjdtri

连杆i上质量单元 dmi的动能为:

dKi=12vi2 dmi

对上式进行积分, 可以得到连杆i的总动能:

Ki=dKi=12Trace⁡j=1i  k=1i  UijririTdmiUikTqjqk

连杆i的伪惯量矩阵为:

Ii=ririTdmi

该矩阵与连杆关节的角度和速度无关, 因此它只需要计算一次。将式(6.10)代入式(6.9), 得到机械臂的动能为:

K=12i=1n j=1i k=1j Trace⁡UijIiUikTqjqk

将连杆驱动器的动能加入, 得到机械臂系统的总动能为:

K=12i=1n j=1i k=1j Trace⁡UijIiUikTqjqk+12i=1n Ii(act)qi2

式中,Ii(act)为连杆驱动器的转动惯量,qi是连杆关节的角速度。

6.2.2机械臂系统势能

机械臂系统的势能是每个连杆关节势能的总和, 可以写为:

P=i=1n Pi=i=1n -migT⋅i0Tri

式中,mi是连杆i的质量,gT=gxgygz0] 是重力矩阵,ri是连杆坐标系中连杆i质 心的位置。

6.2.3机械臂系统拉格朗日动力学方程

由式(6.12)和式(6.13)可以得到机械系统的拉格朗日函数:

L=K-P=12i=1n j=1i k=1j Trace⁡UijIiUikTqjqk+12i=1n Ii(act)qi2-i=1n -migT⋅i0Tri

对拉格朗日函数求导, 就可以得到机械臂的动力学方程,

Fi=j=in  k=1j  Trace⁡UjkIjUjiTqk+Ii(act)qi+j=1n  m=1j  k=1j  Trace⁡UjmkIjUjiTqmqk+j=1n  mjgTUjirj

上式中方程式与求和的次序无关, 取n=6可以将式(6.15)简化写为下列形式:

Fi=j=16 Dijqj+Ii(act)+j=16 k=1j Dijkqjqk+Di

在式(6.16)中, 第一项是角加速度惯量项, 第二项是驱动器惯量项, 第三项是科氏力项 和向心力项，最后一项是重力项。

其中:

Dij=p-(i,j)6 Trace⁡UpjIpUpiT

动力学方程中的每一项在机械臂的控制中都很重要，它们对机械臂系统的稳定和精度有着直接的影响。当机械臂低速运行时，方程中的科氏力项和向心力项可以忽略；但在高速运行时，科氏力项和向心力项的影响将占主导地位。机械臂动力学方程是高度非线性、强耦合性和时变的方程，因此，一般通过使用动力学仿真软件对机械臂进行动力学仿真，得到各关节的力和力矩等参数，从而对机械臂动力学进行分析和优化。

ADAMS 软件，即机械系统动力学自动分析软件(Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems)的简称，是由美国 MDI 公司研发的虚拟样机分析软件，ADAMS 软件已被全球众多行业的制造企业广泛采用，ADAMS 软件使用交互式图形环境与零件库、约束库和力库，它的求解器采用多刚体系统动力学理论中的拉格朗日方法建立系统动力学方程，能够对虚拟机械系统进行静力学、运动学及动力学仿真分析，输出位移、速度以及加速等曲线，还可以预测机械系统的性能、峰值载荷以及计算输入载荷等。本章首先采用拉格朗日力学理论对机械臂动力学方程进行了推导，为动力学分析建立了理论基础。设想未来将将机械臂 SolidWorks 三维模型导入 ADAMS 软件中，建立了机械臂的动力学仿真模型，在机械臂受力最不利的位姿下分工况进行了动力学仿真，求解计算出关节各工况的最大启动力矩，对所选电机的驱动扭矩进行了校核，验证了驱动原件选择的合理性。通过对机械臂进行动力学分析，对机械臂的设计、驱动器的选型以及力控分析做进一步优化。