Rodrigues’ Formula Derive

eω^t=E+ω^t+(ω^t)22!+(ω^t)33!+...(1)e^{\hat\omega t}=E+\hat\omega t+\frac{(\hat\omega t)^2}{2!}+\frac{(\hat\omega t)^3}{3!} +... \tag{1} eω^t=E+ω^t+2!(ω^t)2​+3!(ω^t)3​+...(1)

​ (其中，ω^\hat\omegaω^是以其形成的反对称矩阵ω^∈so(3)\hat\omega\in so(3)ω^∈so(3)

​ ω^\hat \omegaω^ 有如下性质

​ 以此类推，ω^4=−ω^2{\hat \omega}^4=-{\hat \omega}^2ω^4=−ω^2 , ω^5=ω^{\hat \omega}^5=\hat \omegaω^5=ω^ , ω^6=ω^2{\hat \omega}^6={\hat \omega}^2ω^6=ω^2 …

​ 由题目可知，ω^=a^ω\hat \omega = \hat a \omegaω^=a^ω , 由此，原式（1）可以变成如下：

eω^t=E+ω^t+a^(ωt)22!−a^(ωt)33!−a^2(ωt)44!+a^(ωt)55!+a^2(ωt)66!−...(2)e^{\hat\omega t}=E+\hat\omega t+\hat a\frac{(\omega t)^2}{2!}-\hat a\frac{(\omega t)^3}{3!}-\hat a^2\frac{(\omega t)^4}{4!}+\hat a\frac{(\omega t)^5}{5!}+\hat a^2\frac{(\omega t)^6}{6!}-... \tag{2}\\ eω^t=E+ω^t+a^2!(ωt)2​−a^3!(ωt)3​−a^24!(ωt)4​+a^5!(ωt)5​+a^26!(ωt)6​−...(2)

eω^t=E+a^[t−(ωt)33!)+(ωt)55!−(ωt)77!...]+a^2[(ωt)22!−(ωt)44!+(ωt)66!−(ωt)88!...](3)e^{\hat\omega t}= E+\hat a\left[t-\frac{(\omega t)^3}{3!})+\frac{(\omega t)^5}{5!}-\frac{(\omega t)^7}{7!}... \right]+\hat a^2\left[\frac{(\omega t)^2}{2!}-\frac{(\omega t)^4}{4!}+\frac{(\omega t)^6}{6!}-\frac{(\omega t)^8}{8!} ... \right] \tag{3} eω^t=E+a^[t−3!(ωt)3​)+5!(ωt)5​−7!(ωt)7​...]+a^2[2!(ωt)2​−4!(ωt)4​+6!(ωt)6​−8!(ωt)8​...](3)

​ 根据sin(θ)sin(\theta)sin(θ)和cos⁡(θ)\cos(\theta)cos(θ)的Taylor展开级数；

sin⁡x=x−x33!+x35!−x77!+⋯−∞<x<∞cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯−∞<x<∞\begin{array}{ll}\sin x & =x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{3}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\cdots & -\infty<x<\infty \\ \cos x & =1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\cdots & -\infty<x<\infty\end{array} sinxcosx​=x−3!x3​+5!x3​−7!x7​+⋯=1−2!x2​+4!x4​−6!x6​+⋯​−∞<x<∞−∞<x<∞​

式（3）变成：

eω^t=E+a^sin(ωt)+a^2(1−cos(ωt))(4)e^{\hat\omega t}= E+\hat a sin(\omega t)+\hat a^2(1-cos(\omega t)) \tag{4} eω^t=E+a^sin(ωt)+a^2(1−cos(ωt))(4)

​ 由于θ=ωt\theta=\omega tθ=ωt ,式（4）变成：

ea^θ=E+a^sinθ+a^2(1−cosθ)(4)e^{\hat a\theta}= E+\hat a sin \theta+\hat a^2(1-cos \theta) \tag{4} ea^θ=E+a^sinθ+a^2(1−cosθ)(4)