【优化求解】基于粒子群算法求解多目标优化问题matlab源码
1 算法介绍
1.1 关于速度和位置
粒子群算法通过设计一种无质量的粒子来模拟鸟群中的鸟，粒子仅具有两个属性：速度和位置，速度代表移动的快慢，位置代表移动的方向。
鸟被抽象为没有质量和体积的微粒(点)，并延伸到N维空间，粒子i在N维空间的位置表示为矢量Xi＝(x1，x2，…，xN)，飞行速度表示为矢量Vi＝(v1，v2，…，vN)。每个粒子都有一个由目标函数决定的适应值(fitness value)，并且知道自己到目前为止发现的最好位置(pbest)和现在的位置Xi。这个可以看作是粒子自己的飞行经验。除此之外，每个粒子还知道到目前为止整个群体中所有粒子发现的最好位置(gbest)(gbest是pbest中的最好值)，这个可以看作是粒子同伴的经验。粒子就是通过自己的经验和同伴中最好的经验来决定下一步的运动。
2.2 速度和位置的更新
PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pbest，gbest)来更新自己。在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己的速度和位置。
对于公式(1)：
公式(1)的第①部分称为【记忆项】，表示上次速度大小和方向的影响；
公式(1)的第②部分称为【自身认知项】，是从当前点指向粒子自身最好点的一个矢量，表示粒子的动作来源于自己经验的部分；
公式(1)的第③部分称为【群体认知项】，是一个从当前点指向种群最好点的矢量，反映了粒子间的协同合作和知识共享。粒子就是通过自己的经验和同伴中最好的经验来决定下一步的运动。
以上面两个公式为基础，再来看一个公式：
公式(2)和 公式(3)被视为标准PSO算法。
1.3 标准PSO算法的流程
1）初始化一群微粒(群体规模为N)，包括随机位置和速度；
2）评价每个微粒的适应度；
3）对每个微粒，将其适应值与其经过的最好位置pbest作比较，如果较好，则将其作为当前的最好位置pbest；
4）对每个微粒，将其适应值与其经过的最好位置gbest作比较，如果较好，则将其作为当前的最好位置gbest；
5）根据公式(2)、(3)调整微粒速度和位置；
6）未达到结束条件则转第2）步。
迭代终止条件根据具体问题一般选为最大迭代次数Gk或(和)微粒群迄今为止搜索到的最优位置满足预定最小适应阈值。
## 4.2 PSO流程图解
2 部分代码
clc;clear;close all;%% 问题定义，这里可以删除TestProblem=1; % Set to 1, 2, or 3switch TestProblemcase 1CostFunction=@(x) MyCost1(x);nVar=50;VarMin=0;VarMax=1;case 2CostFunction=@(x) MyCost2(x);nVar=3;VarMin=-5;VarMax=5;case 3CostFunction=@(x) MyCost3(x);nVar=2;VarMin=0;VarMax=1;endVarSize=[1 nVar];VelMax=(VarMax-VarMin)/10;%% MOPSO 设置nPop=500; % Population SizenRep=100; % Repository SizeMaxIt=500; % Maximum Number of Iterationsphi1=2.05;%学习因子phi2=2.05;phi=phi1+phi2;chi=2/(phi-2+sqrt(phi^2-4*phi));w=chi; % Inertia Weightwdamp=1;% Inertia Weight Damping Ratioc1=chi*phi1; % Personal Learning Coefficientc2=chi*phi2; % Global Learning Coefficientalpha=0.1; % Grid Inflation ParameternGrid=10; % Number of Grids per each Dimensionbeta=4; % Leader Selection Pressure Parametergamma=2; % Extra (to be deleted) Repository Member Selection Pressure%% 初始化particle=CreateEmptyParticle(nPop);for i=1:nPopparticle(i).Velocity=0;particle(i).Position=unifrnd(VarMin,VarMax,VarSize); %unifrnd在[VarMin,VarMax]区间模拟VarSize的数组% 初始化了自变量X的位置particle(i).Cost=CostFunction(particle(i).Position); % 求解目标函数particle(i).Best.Position=particle(i).Position;particle(i).Best.Cost=particle(i).Cost;endparticle=DetermineDomination(particle);rep=GetNonDominatedParticles(particle);rep_costs=GetCosts(rep);G=CreateHypercubes(rep_costs,nGrid,alpha);for i=1:numel(rep)[rep(i).GridIndex rep(i).GridSubIndex]=GetGridIndex(rep(i),G);end%% MOPSO 主循环for it=1:MaxItfor i=1:nPoprep_h=SelectLeader(rep,beta);particle(i).Velocity=w*particle(i).Velocity ...+c1*rand*(particle(i).Best.Position - particle(i).Position) ...+c2*rand*(rep_h.Position - particle(i).Position);particle(i).Velocity=min(max(particle(i).Velocity,-VelMax),+VelMax);particle(i).Position=particle(i).Position + particle(i).Velocity;flag=(particle(i).Position<VarMin | particle(i).Position>VarMax); %非劣检查:flagparticle(i).Velocity(flag)=-particle(i).Velocity(flag);particle(i).Position=min(max(particle(i).Position,VarMin),VarMax);particle(i).Cost=CostFunction(particle(i).Position);if Dominates(particle(i),particle(i).Best)particle(i).Best.Position=particle(i).Position;particle(i).Best.Cost=particle(i).Cost;elseif ~Dominates(particle(i).Best,particle(i))if rand<0.5particle(i).Best.Position=particle(i).Position; particle(i).Best.Cost=particle(i).Cost;endendendparticle=DetermineDomination(particle);nd_particle=GetNonDominatedParticles(particle);rep=[repnd_particle];rep=DetermineDomination(rep);rep=GetNonDominatedParticles(rep);for i=1:numel(rep)[rep(i).GridIndex rep(i).GridSubIndex]=GetGridIndex(rep(i),G);endif numel(rep)>nRepEXTRA=numel(rep)-nRep;rep=DeleteFromRep(rep,EXTRA,gamma);rep_costs=GetCosts(rep);G=CreateHypercubes(rep_costs,nGrid,alpha);end% disp(['Iteration ' num2str(it) ': Number of Repository Particles = ' num2str(numel(rep))]);w=w*wdamp;end%% 结果costs=GetCosts(particle);rep_costs=GetCosts(rep);figure;plot(costs(1,:),costs(2,:),'b.');hold on;plot(rep_costs(1,:),rep_costs(2,:),'rx');legend('Main Population','Repository');
3 仿真结果
4 参考文献
[1]王越, 吕光宏. 改进的粒子群求解多目标优化算法[J]. 计算机技术与发展, , 000(002):42-45.
