初中数学使用科学计算器的利与弊(节选)
省课程专家
陈杰
一、使用科学计算器是《数学课程标准》的目标要求
1.使用科学计算器是《数学课程标准》的基本理念之一。
在数学教学和考试中使用科学计算器,是教育现代化发展的需要。为此,《数学课程标准(实验稿)》(下称课标)把使用计算器在内的现代信息技术作为一条基本理念提出来,见课标第2页。
2.使用科学计算器是《数学课程标准》要求的学习内容。
《课标》对某些具体课程目标的学习过程中使用计算器有明确说明,其中有些涉及具体的学习内容,属于硬性要求。例如:
第二学段(4~6年级)具体目标有要求:开始借助计算器进行复杂计算和探究数学问题。——请注意:这是小学学段的要求。
数的运算:(第9条)能借助计算器进行复杂计算,解决简单的实际问题,探究简单的数学规律。并出示案例:
例7
任意给定四个互不相同的数字,组成最大的数和最小的数,并用最大的数减去最小的数。对所得结果的四个数字重复上述过程,你会发现什么哪?(利用计算器)
以下是第三学段(7~9年级)具体目标的要求:
(1)实数:(第2条)会用计算器求平方根和立方根。
(2)实数:(第5条)在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并按问题的要求对结果取近似值。
(3)整式与分式:(第1条)会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)。
(4)方程与不等式:(第1条②)经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。
(5)图形的相似:(第⑥条)会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的锐角。
(6)统计:(第1条)从事收集、整理、描述和分析数据的活动,能用计算器处理较为复杂的统计数据。——包括平均数、加权平均数、方差等。
(7)一次函数:(第④条)能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
(8)二次函数:(第④条)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
注:第7、8条虽然课标没有明确指出必须用计算器,但在实际教学中,学生都应借助科学计算器完成学习任务。(理由后面论述)
3.《课标》对计算器的使用有教学建议
例如:第三学段(7~9年级)教学建议(六)充分运用现代信息技术:教师应当在学生理解并能正确应用公式、法则进行计算的基础上,指导学生用计算器完成较为繁杂的计算。在课堂教学、课后作业、实践活动以及考试中,应当允许学生使用计算器,还应鼓励学生用计算器进行探索规律等活动。……
从上述的各种要求的表述,不难看出:对初中数学教育而言,使用计算器是一种新理念;对初中学生而言,掌握计算器的使用方法是一种基本技能;对促进学生学习发展而言,计算器是一种辅助学生探究数学规律、解决问题的工具。
二、使用科学计算器是教授、学习初中数学教科书内容的要求
义务教育课程标准试验教科书初中数学中涉及科学计算器的内容大致可以分为两个方面的目标要求:(以下以鲁教版为例予以说明)
1.学习使用科学计算器的基本技能
年级
章
节
涉及内容
课时
六上
第二章 有理数及其计算
第12节 计算器的使用
学习有理数的加减乘除乘方运算,并探索规律
1
六下
第十章 数据的表示
第1节 科学记数法
借助科学计算器进行有关科学记数法的计算
1
七上
第三章 实数
第5节 用计算器开方
求平方根、立方根
1
七上
第三章 实数
第6节 实数
有关实数的近似计算
1
七下
第十章 数据的代表
第4节 利用计算器求平均数
求一组数据的加权平均数
1
八上
第四章 数据的收集与处理
第5节 数据的波动
求一组数据的标准差、方差、极差
1
八下
第七章 一元二次方程
第3节 用公式法解一元二次方程
解一元二次方程
1
八下
第十章 频率与概率
第3节 生活中的概率问题
进行模拟试验(产生随机数),估计复杂事件发生的概率
1
九上
第一章 解直角三角形
第3节 用计算器求锐角三角函数值
求锐角的三角函数值,由三角函数值求其锐角
2
以上属于课标中“知识与技能”方面的目标要求。其中,计算器在开方运算,有关锐角三角函数值问题,统计问题中的加权平均数及方差、标准差计算、概率问题中的模拟试验等方面的应用,应视为学生必须掌握的学习技能。尤其是某些开方运算和某些有关锐角三角函数值的运算,学生在没有《数学用表》,又不能用计算器的情况下,无法通过手工完成。而让学生利用科学计算器产生随机数进行模拟试验,来估计复杂事件发生的概率,确是科学计算器不可替代的优势。从长远来看,《数学用表》的作用必将被科学计算器所取代。
2.使用科学计算器的探索规律
年级
章
节
涉及内容
课时
七上
第三章 实数
第1节 无理数
探索无理数是无限不循环小数,并体会无限逼近的思想(如求 )
2
七上
第三章 实数
第5节 用计算器开方
对一个(大于1和小于1)正数连续进行开平方运算,发现规律
1
七上
第七章 二元一次方程组
第4节 二元一次方程与一次函数
求二元一次方程组的近似解
1
八下
第七章 一元二次方程
第1节 一元二次方程
探索一元二次方程的解或近似解
1
八下
第十章 频率与概率
第3节 生活中的概率问题
进行模拟试验(产生随机数),估计复杂事件发生的概率
1
九上
第二章 二次函数
第7节 二次函数与一元二次方程
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
1
在以上内容的学习过程中,应借助科学计算器的辅助作用,探索数学规律,完成课标中“过程与方法”方面的目标要求。而经历这种探索的过程,对学生来说,是非常重要的。
以求二元一次方程组的近似值为例,对于二元一次方程组,一般不用画图象的方法求近似解。但对于一些高次方程、无理方程、超越方程的求解,画图象的方法则更具有一般性。学生通过多次训练,学到了一种重要的解决问题的策略,其中包含朴素的用“区间套”逐步逼近的思想。(注:区间套定理是《数学分析》中的一个重要定理)因此,教材的这种安排,是为学生的后续学习打下良好的基础。
在利用画图象的方法求方程组近似解的过程中,如果学生不利用计算器计算,那么学生的大部分时间、精力将花费在繁杂的数字计算上了,因而冲淡了对其中蕴含规律探索的热情,冲淡了探究活动的主题,大大降低了课堂活动的效率。如果使用计算器,计算器完成的只是数字的计算,学生关注的是内在的数学规律,主题突出了,效率提高了。
如果学生不经历这种探索过程,只是有教师口头上讲一讲,那么课程标准中要求的过程与方法的目标就无法实现,让学生掌握其中的数学思想方法就成为一句空话。
另外,教科书中的一些内容,其学习过程可以不用计算器,但由于题目中可能涉及较复杂的数值,计算麻烦。用了科学计算器可以突出活动中心的主题,引导学生重点关注其核心知识(数学规律),提高学习效率。如:
年级
章
节
涉及内容
课时
六上
第三章 代数式
第2节 代数式
借助计算器探索数量关系、解决某一些问题
1
六上
第六章 生活中的数据
第一节 科学记数法
用计算器处理较复杂的数据
1
八下
第十章 频率与概率
第1节 用频率估计概率
频率计算
1
九上
第一章 解直角三角形
第5节 解直角三角形的应用
求锐角的三角函数值,近似计算
3
应当明确,快速处理数据的能力是时代对每个公民的要求。《课标》中有“收集、整理、描述、分析数据”,“能用计算器处理较为复杂的统计数据”的要求,面对大量的实际数据,在明白统计原理的情况下,使用计算器是最佳选择,也是时代发展的趋势。
三、使用科学计算器有无负面影响
有人说使用计算器影响了初中学生的数学能力。本人以为,研究这个问题,可从三个方面分析。
1.数字计算在一个人成长过程中的作用
我认为计算能力有两个要素:计算技能和数学思维。即计算技能和数学思维结合才能形成计算能力。而且学习数字计算的过程对人的思维发展起到了极大的作用。在小学低年级阶段,由于小学生年龄小,偏向于形象思维,抽象思维水平极低,学习诸如0,1,2,…9的意义,加减乘除的运算法则、明白其算理,这对小学生来说是非常抽象。这个阶段的数字计算对学生而言,不仅解决了加减乘除运算的算理问题,同时也是小学生思维由形象思维向抽象思维过渡的重要阶段,对提升学生的思维水平至关重要。所以,这个阶段应尽可能的少使用计算器,以保证不错过绝好的提升思维水平的机会。
在初中低年级,如初一年级要学习有关实数的运算,由正数扩充到负数,由有理数扩充到无理数,是小学阶段数字计算的延续。学生应在学习算理,应用法则方面作必要的思维训练,这也很重要。
社会对人基本运算技能的要求是与时俱进的。事实上,在数学界已经达成了共识:用数学解决实际问题,重要的是分析其中的数学规律,建立数学模型的“数学化”过程。电脑是人脑的延续。有些问题,设计好“算法”程序,就可以由计算机解决——《算法》已成为现行高中的选修教材。
新的《数学课程标准》对计算的复杂程度要求不高:掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算——以三步为主;在涉及数的开方要求使用计算器。可见,《课标》对初中阶段有理数、实数的加减乘除乘方甚至开方运算的要求也是明白基本算理(法则)、形成基本技能。就整个初中阶段而言,引入字母表示数,数学学习由“算术”进入“代数”,其数学本质发生了较大的变化,对计算技能的要求也不一样了。
2.使用计算器会影响了学生的计算能力吗?
如果一个初中学生在平时练习时过于依赖来计算器,那么他的计算能力肯定受到影响。若一些简单计算过于依赖计算器,形成惰性心理,其计算的细心程度会有一些影响。我想所谓学生计算能力下降,很大程度是计算时的认真程度下降。
3.从初中阶段的教学目标要求看计算能力的价值
用计算器主要涉及代数方面的问题。一个人的代数能力,最重要的是他的代数式变形能力。代数运算是“式”的运算,是代数式的变形。初中阶段主要有同解变形和恒等变形,尽管初中阶段代数式变形的过程中,也伴随着诸如系数、指数、常数项等等数字的计算,但这与单纯的数字运算已大不相同,对数字计算的要求比较低,只涉及运算技能。其中的绝大部分数字计算所涉及的方法都是小学阶段已学过的算理,只要仔细,一般不会出错。若用计算器解决,通常所用的时间会比口算所用的时间还要长。
四、使用科学计算器对中考评价的影响
中考要考查学生的数学应用意识,考查学生解决问题的能力。实际背景问题的数据一般都不太好处理。使用计算器避开复杂的数字计算,可以突出考查初中数学的核心内容,而计算器解决的只是有限的部分内容,所占分值极低。如果在一道题目后面添加了一个所需的数据,那么客观上就等于给学生解题提供了一个路标,为学生解题提供了一个踏脚石,题目的味道大变,难度下降。这些试题就达不到预期考查效果。若提供很多数据,又显得试题的条件太乱、太多,不够简洁。
若不使用计算器,学生往往纠缠于繁杂的数字计算,影响对实际问题的解决。学生数字计算错了,不等于他解题思路的错误,但错误的数字却会影响他后面思维的展开,这将影响试题的效度。
就我本人的看法,通常不会出一些学生只需按手指,不必动脑筋的试题。其理由是:
(1)这不符合新课程理念数学学科以能力立意的中考命题原则。
(2)对学生而言,使用计算器是一种技能,但这种技能应定位于学生学习数学、解决问题的辅助工具。
因此,不宜单独出仅仅考查学生使用计算器技能的题目,而应该把对学生使用计算器技能的考查融于对学生解决问题能力考查的过程之中。
五、寻求一条扬长避短之路
1.什么时候用计算器的什么功能是有讲究的!
如前所述,培养学生计算机能的最佳时机是在小学阶段,这一阶段应少用计算器。分析初中数学教科书中相关内容的呈现顺序,不难看出什么时候使用计算器,使用计算器的什么功能也是有要求的,决不能滥用。如初中教科书七年级上册第三章第一节无理数中“探索
的值”,学生仅用了计算器的平方(或乘法)功能,逐步“夹逼”,得到 的近似值。若直接用计算器计算
的值,其结果一按就出来了,学生就体会不到其间的数学思想方法。
又如八年级下册第七章第一节一元二次方程中“探索一元二次方程的近似解”,如果给学生讲一元二次方程的求根公式,学生根据一元二次方程的求根公式按计算器,其结果可以立即呈现。学生就体会不到其中的数学思想方法,所以,这部分内容是万万不能滥用计算器的。
2.调查研究,控制使用。研究学生使用计算器的心理,引导学生合理的使用计算,这些方面,还有待于我们深入调研。
总之,初中数学教学及中考中使用计算器是《课标》的要求;是学习教材内容的需要;学生的计算能力不等同于代数式变形的能力;快速处理数据的能力是时代对每个公民的要求;只要好好控制使用,不会对学生的数学能力造成多大的影响。