(题图为第一类切比雪夫多项式的图像)
大家好!
今天给大家带来一个难度相对较大的内容:切比雪夫最佳逼近直线。这个内容在浙江省和江苏省考得比较多,其它考区不太清楚,听说全国卷不等式都是放在“不等式选讲”里面考的,应该考的不多吧。
首先解释一下为什么不更全能生的大题。因为这个大题实在虎头蛇尾,三角函数大题还有点难度,到后面就没啥了,个人认为意义不是太大。然后最近浙江省好卷太少了,比如杭二月考卷,有很多题都在平时的练习中见过,20题还是我们学校上学期考试或者是周周练的原题,这是让我比较失望的。温州中学和名校协作体也有dalao已经在知乎上写了。所以今天就写一个求最值方面的小技巧吧。
今天要介绍的技巧称为切比雪夫最佳逼近线,一般情况下运用在求形如
的函数的最大值的最小值问题中。
切比雪夫最佳逼近
以下内容是理论分析,可能比较抽象。不必担心,看完以后再看后面的实际操作例题就可以理解的。但是不要跳过理论分析直接看例题,那样可能不知道我究竟在干嘛。
设
是 上的连续函数, , ,称 为 与直线 的偏差,成功取到最大值的那个 称为偏差点,若 则称为正偏差点, 则称为负偏差点。
注意到
的几何意义就是 和 在横坐标相等时的“纵向距离”,因此这种方法也叫做借助纵向距离法。
定义集合
,若存在函数 使得对 ,都满足 ,则称 为 的最佳逼近直线。
我很想用大白话翻译一下上述数学语言,但是找不到什么大白话,所以还是请大家仔细理解一下了。
然后讲一下最佳逼近直线的求法。
对于凹、凸函数(即二阶导数在定义域内不变号),最佳逼近直线的求法是:
代数表述:
式中k即为MN斜率,c满足
几何表述:
(1)连接
(2)在
曲线上找一点C,使得 在C处的切线平行于MN
请注意,C点是一定存在的,拉格朗日中值定理可以证明C的存在性。
(3)连接MC,取其中点D,过D作MN的平行线,该直线即为最佳逼近直线。M,C,N轮流为正负偏差点。
(更加简单的表述:作直线MN和C处切线的“中间”直线)
例题
例1
,使得对 , ,求c的最大值。
通过对存在、任意两个量词的理解和分析,我们可以判断出这是一道典型的最大值的最小值问题。
,所以可以用最佳逼近。
注意,由于二次函数的二阶导数是常数,其凹凸性不会变化,所以对于二次函数可以免去求二阶导数的步骤。
两端点的割线斜率为1,割线方程为 .在点 处的切线斜率为1(这个点可以由求导很容易的解出,此处略去),切线方程为 .
其“中间”直线即为最佳逼近直线,
..
例2(·浙江学考,34(3))
,对 , ,求m的取值范围。
请注意,对于我们很熟悉的函数,我们可以直接通过画图像判断其凹凸性,不求二阶导数也没有关系。
显然是一个上凸函数。
两端点割线
(1,1)处切线
“中间”直线为最佳逼近直线:
.(求导求最值过程略去)
故
.
这道题当年在学考中是一个大题,意在考察分类讨论的思想和绝对值不等式的应用,所以考场上不能用最佳逼近。但是在高考中此类试题一般会出现在小题中,此时切比雪夫最佳逼近可以成为一个非常好的办法。
例3(·全国高中数学联赛,9)已知函数
, 当 , ,求a的最大值。
令
端点相连的割线:
g(x)在
处的切线:
“中间”直线为最佳逼近直线:
令
显然a的最大值为
.
例3是已知最大值的最小值反求参数的问题,相当于是逆用,与前两道正用的有所区别。