食饵——捕食者模型
摘要
自然界中不同种群之间存在着一种有趣的既有依存,又有制约的生存方式:种群甲靠丰富的自然资源生长,而种群乙靠捕食种群甲为生。生态学上称种群甲
),二者共处组成食饵——捕食者系统为食饵(Prey),种群乙为捕食者(Predator
(简称P-P系统)。为了对食饵、捕食者的数量关系做出分析和预测,建立了食饵——捕食者模型:根据微分方程稳定性理论辅之以相轨线分析,对具有自身阻滞作用的两种群的数量关系做出分析和预测。
关键词
食饵——捕食者,模型,生态学,Logistic规律。
问题重述
讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵——捕食者模型,首先根据两种群的相互关系建立模型,解释参数的意义,然后进行稳定性分析,解释平衡点稳定的实际意义,对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。
模型建立
种群甲(食饵)靠丰富的自然资源生长,而种群乙(捕食者)靠捕食种群甲为生,食饵(甲)和捕食者(乙)在t时刻的数量分别记为x(t),y(t),r是甲的固有增长率,种群甲和乙的最大容量分别为N、M。数量的演变均遵从Logistic规律。于是对种群甲有
(t)=rx(1-x
x
) N
其中因子(1-用,
x
)反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作N
x
可解释为相对于N而言单位数量的甲消耗别的供养甲的食物量(设食物N总量为1)。
当两个种群在同一自然环境中生存时,考察由于乙消耗同一种有限资源对甲
x
的增长产生的影响,可以合理的在因子(1-)中再减去一项,该项与种群乙的
N
数量y(相对于M而言)成正比,于是得到种群甲增长的方程为
xy
-σ1) (1) NM
这里的意义是:单位数量乙(相对于M而言)消耗的供养甲的食物量为单位数
(t)=rx(1-x
量甲(相对N)消耗的供养甲的食物量的σ1倍。
类似的,甲的存在也影响了乙的增长,种群乙没有甲的存在会死亡,设其死亡率为d,甲为乙提供食物,甲对乙的增长起到了促进作用,乙的增长又会受到自身的阻滞作用,于是得到种群乙增长的方程为
xy
(t)=dy(-1+σ2-) (2) y
NM其中:σ2反映食饵对捕食者的供养能力。
稳定性分析
为了研究种群甲、乙的结局,即t→∞时,x(t)、y(t)的趋向,需对它的平衡点进行稳定性分析。
首先根据微分方程(1)、(2)解代数方程组
xy⎧
f(x,y)≡rx(1--σ)=01⎪NM (3) ⎨xy
⎪g(x,y)≡dy(-1+σ2-)=0
NM⎩
得到4个平衡点:
⎛N(1+σ1)M(σ2-1)⎫ ⎪,,P(N,0)P(0,-M)P,123 ⎪,P4(0,0)。 1+σσ1+σσ1212⎭⎝
按照判断平衡点稳定性的方法计算
⎡fx
A=⎢
⎣gx
rσ1x2xσ1y⎡⎤
r(1--)-fy⎤⎢⎥NMM=⎢⎥dσ2yσ2x2y⎥ gy⎦⎢
d(-1+-)⎥
NNM⎦⎣
p=-(fx+gy)|pi,i=1,2,3,4
将4个平衡点
q=detA|pi,i=1,2,3,4
p,q的结果及稳定条件列入下表1.
上表的稳定条件由微分方程稳定性理论分析:“若p>0,q>0,则平衡点稳定;若p
在代数方程(3)中记
xy
-σ1 NM
xy
ψ(x,y)=-1+σ2-
NM
ϕ(x,y)=1-
对于σ1,σ2的不同取值范围,直线ϕ=0和ψ=0在相平面上的相对位置不同。
σ2
σ2>1
模型计算与验证
数值解:记食饵和捕食者的初始数量分别为
x(0)=x0,y(0)=y0 (4)
为求微分方程(1)、(2)及初始条件(4)的数值解x(t),y(t)(并作图)及相
xy⎧
f(x,y)≡rx(1--σ)=01⎪⎧f(x,y)≡x(r-nx-ay)=0NM轨线y(x),把⎨用⎨代
xy
⎪g(x,y)≡dy(-1+σ2-)=0⎩g(x,y)≡y(-d+bx-my)=0
NM⎩
σ1=0.5,σ2=0.2,N=100,M=10,替,设r=1,d=0.5,则有r=1,d=0.5,
a=
rσ1dσ211
=0.01,m==0.1。 =0.05,b==0.001,n=NMMN
MATLAB代码为:
r=1;d=0.5;a=0.05;b=0.001;n=0.01;m=0.1;
xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear;
>> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2];
>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0)
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause,
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
σ1
解x(t),y(t)的图形。
相轨线y(x)的图形
设r=1,d=0.5,σ1=2,σ2=0.2,N=100,M=10,则有r=1,d=0.5,
a=
rσ1dσ211
=0.01,m==0.1。 =0.2,b==0.001,n=NMMN
MATLAB代码为:
r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.001;n=0.01;m=0.1;
xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear;
>> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2];
>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause,
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
σ1>1,σ2
解x(t),y(t)的图形。
相轨线y(x)的图形
设r=1,d=0.5,σ1=0.5,σ2=2,N=100,M=10,则有r=1,d=0.5,
a=
rσ1dσ211
=0.01,m==0.1。 =0.05,b==0.01,n=NMMN
MATLAB代码为: function xdot=shier(t,x)
r=1;d=0.5;a=0.05;b=0.01;n=0.01;m=0.1;
xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear;
>> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2];
>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause,
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
σ11时,数值
解x(t),y(t)的图形。
相轨线y(x)的图形
设r=1,d=0.5,σ1=2,σ2=2,N=100,M=10,则有r=1,d=0.5,
a=
rσ1dσ211
=0.01,m==0.1。 =0.2,b==0.01,n=NMMN
MATLAB代码为:
function xdot=shier(t,x)
r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.01;n=0.01;m=0.1;
xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear;
>> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2];
>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause,
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
σ1>1,σ2>1时,数值
解x(t),y(t)的图形。
相轨线y(x)的图形
模型解释
根据模型中σ2与1的大小关系(σ2与1的大小关系定了,与σ1与1的大小关系无关,即点P1,P3的稳定性由σ2与1的大小关系决定),说明P1,P3两稳定点在生态学上的意义。
当σ2
当σ2>1时,点P3稳定,这时食饵与捕食者的数量随时间的增加趋于各自的极限值,而趋于生态平衡,时间足够长之后,食饵与捕食者将保持自己的数量不会有大的变化。
参考文献
数学建模/姜启源,谢金星,叶俊编.—3版.—北京:高等教育出版社,.8(重印)
数学建模与实验/陈恩水,王峰编.—北京:科学出版社,
MATLAB数学建模与仿真/周品,赵新芬编著,—北京:国防出版社,.4 数学建模选讲/王树禾编著.—北京:科学出版社,