《量子信息与量子计算简明教程》第三章·量子纠缠状态及其应用 (上)

本专栏的主要内容是《量子信息与量子计算简明教程》陈汉武这本书的学习笔记及复习整理。

本章所涉及到的主要内容概览如下：

一、量子纠缠态

关于量子纠缠态，如果阅读过第一章·基本概念(上)，那么将会对其不再陌生。如果你是第一次看到的话，那么本文将在这里再次复习一下。量子纠缠状态指的是两个或多个量子系统之间的非定域、非经典的关联，是量子系统内各子系统或各自由度之间关联的力学属性。在某种程度上，以上表述还是有些难以理解，那么换种表述方式或许能帮助理解：如果qubit列的叠加态无法用个qubit的张量积表示，这种叠加态就称为量子纠缠态。例如叠加态12∣01⟩+12∣10⟩\frac{1}{\sqrt{2}}|01\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|10\rangle2​1​∣01⟩+2​1​∣10⟩无法写成两个qubit的直积(即张量积)，称此叠加态为纠缠态。

进一步，爱因斯坦的狂热粉丝贝尔为了支持爱因斯坦，推导了最终证明爱因斯坦错了的贝尔不等式，以及贝尔算符的全套本征态即贝尔态基：

∣β00⟩=∣00⟩+∣11⟩2=12[1001],∣β01⟩=∣01⟩+∣10⟩2=12[0110]\left|\beta_{00}\right\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right], \quad\left|\beta_{01}\right\rangle=\frac{|01\rangle+|10\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] ∣β00​⟩=2​∣00⟩+∣11⟩​=2​1​⎣⎢⎢⎡​1001​⎦⎥⎥⎤​,∣β01​⟩=2​∣01⟩+∣10⟩​=2​1​⎣⎢⎢⎡​0110​⎦⎥⎥⎤​∣β10⟩=∣00⟩−∣11⟩2=12[100−1],∣β11⟩=∣01⟩−∣10⟩2=12[01−10]\left|\beta_{10}\right\rangle=\frac{|00\rangle-|11\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right], \quad\left|\beta_{11}\right\rangle=\frac{|01\rangle-|10\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right] ∣β10​⟩=2​∣00⟩−∣11⟩​=2​1​⎣⎢⎢⎡​100−1​⎦⎥⎥⎤​,∣β11​⟩=2​∣01⟩−∣10⟩​=2​1​⎣⎢⎢⎡​01−10​⎦⎥⎥⎤​不难看出，贝尔态基均为纠缠态。为了深入理解量子纠缠态的性质，不妨来看看如何构造量子纠缠态。

以两量子直积态∣00⟩|00\rangle∣00⟩出发，记为∣0A0B⟩|0_A0_B\rangle∣0A​0B​⟩，构造纠缠态∣00⟩+∣11⟩2\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}2​∣00⟩+∣11⟩​。首先对∣0A⟩|0_A\rangle∣0A​⟩作用Hadamard门，得到状态

H∣0A0B⟩=∣0A⟩+∣1A⟩2∣0B⟩=∣0A0B⟩+∣1A0B⟩2H|0_A0_B\rangle=\frac{|0_A\rangle+|1_A\rangle}{\sqrt{2}} |0_B\rangle=\frac{|0_A0_B\rangle+|1_A0_B\rangle}{\sqrt{2}} H∣0A​0B​⟩=2​∣0A​⟩+∣1A​⟩​∣0B​⟩=2​∣0A​0B​⟩+∣1A​0B​⟩​仔细观察可知，仅需要将∣1A0B⟩|1_A0_B\rangle∣1A​0B​⟩变换为∣1A1B⟩|1_A1_B\rangle∣1A​1B​⟩即可得到纠缠态。于是，有∣0A0B⟩|0_A0_B\rangle∣0A​0B​⟩不发生变化，∣1A0B⟩|1_A0_B\rangle∣1A​0B​⟩变换为∣1A1B⟩|1_A1_B\rangle∣1A​1B​⟩，根据我们在第二章·经典比特与量子比特中的讲解可知，以A为控制比特为，B为目标比特位，对H∣0A0B⟩H|0_A0_B\rangleH∣0A​0B​⟩作用CNOTCNOTCNOT门即可完成目标纠缠态的构造：

CNOT∣0A0B⟩+∣1A0B⟩2=∣0A0B⟩+∣1A1B⟩2CNOT\frac{|0_A0_B\rangle+|1_A0_B\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{|0_A0_B\rangle+|1_A1_B\rangle}{\sqrt{2}} CNOT2​∣0A​0B​⟩+∣1A​0B​⟩​=2​∣0A​0B​⟩+∣1A​1B​⟩​上述过程也可以在量子线路上进行实现，如下图所示。

测量得到的概率为：

类似地，我们可以得到一个通用的生成贝尔状态的量子状态变换回路：回路的输入状态是∣xy⟩|xy\rangle∣xy⟩qubit对，对其中一个qubit做Hadamard变换，然后再与另一个qubit同时经过控制非门变换后得到的输出结果就是贝尔态基之一。如下图所示。

基底∣00⟩,∣01⟩,∣10⟩,∣11⟩|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle∣00⟩,∣01⟩,∣10⟩,∣11⟩的状态变换过程如下：

(1) 对∣00⟩,∣01⟩,∣10⟩,∣11⟩|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle∣00⟩,∣01⟩,∣10⟩,∣11⟩做Hadamard变换

H∣00⟩=H∣0⟩∣0⟩=(∣0⟩+∣1⟩2)∣0⟩=∣00⟩+∣10⟩2H∣01⟩=H∣0⟩∣1⟩=(∣0⟩+∣1⟩2)∣1⟩=∣01⟩+∣11⟩2H∣10⟩=H∣1⟩∣0⟩=(∣0⟩−∣1⟩2)∣0⟩=∣00⟩−∣10⟩2H∣11⟩=H∣1⟩∣1⟩=(∣0⟩−∣1⟩2)∣1⟩=∣01⟩−∣11⟩2\begin{aligned} &H|00\rangle=H|0\rangle|0\rangle=\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)|0\rangle=\frac{|00\rangle+|10\rangle}{\sqrt{2}} \\ &H|01\rangle=H|0\rangle|1\rangle=\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)|1\rangle=\frac{|01\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}} \\ &H|10\rangle=H|1\rangle|0\rangle=\left(\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)|0\rangle=\frac{|00\rangle-|10\rangle}{\sqrt{2}} \\ &H|11\rangle=H|1\rangle|1\rangle=\left(\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)|1\rangle=\frac{|01\rangle-|11\rangle}{\sqrt{2}} \end{aligned} ​H∣00⟩=H∣0⟩∣0⟩=(2​∣0⟩+∣1⟩​)∣0⟩=2​∣00⟩+∣10⟩​H∣01⟩=H∣0⟩∣1⟩=(2​∣0⟩+∣1⟩​)∣1⟩=2​∣01⟩+∣11⟩​H∣10⟩=H∣1⟩∣0⟩=(2​∣0⟩−∣1⟩​)∣0⟩=2​∣00⟩−∣10⟩​H∣11⟩=H∣1⟩∣1⟩=(2​∣0⟩−∣1⟩​)∣1⟩=2​∣01⟩−∣11⟩​​(2) 对上述四个叠加态分别作CNOT变换，得到贝尔态

∣β00⟩=∣00⟩+∣11⟩2,∣β01⟩=∣01⟩+∣10⟩2∣β10⟩=∣00⟩−∣11⟩2,∣β11⟩=∣01⟩−∣10⟩2\begin{aligned} &\left|\beta_{00}\right\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}, \quad\left|\beta_{01}\right\rangle=\frac{|01\rangle+|10\rangle}{\sqrt{2}} \\ &\left|\beta_{10}\right\rangle=\frac{|00\rangle-|11\rangle}{\sqrt{2}}, \quad\left|\beta_{11}\right\rangle=\frac{|01\rangle-|10\rangle}{\sqrt{2}} \end{aligned} ​∣β00​⟩=2​∣00⟩+∣11⟩​,∣β01​⟩=2​∣01⟩+∣10⟩​∣β10​⟩=2​∣00⟩−∣11⟩​,∣β11​⟩=2​∣01⟩−∣10⟩​​通过以上过程，学习了纠缠状态的生成。接下来，看一看测定一个纠缠状态时，其呈现出的性质，以贝尔状态∣β00⟩|\beta_{00}\rangle∣β00​⟩为例。通过前几章学习的知识，在对∣β00⟩|\beta_{00}\rangle∣β00​⟩进行测定时，不难计算各个qubit的概率为

∣⟨00∣β00⟩∣2=∣⟨00∣00⟩+⟨00∣11⟩2∣2=12∣⟨01∣β00⟩∣2=∣⟨01∣00⟩+⟨01∣11⟩2∣2=0∣⟨10∣β00⟩∣2=∣⟨10∣00⟩+⟨10∣11⟩2∣2=0∣⟨11∣β00⟩∣2=∣⟨11∣00⟩+⟨11∣11⟩2∣2=12\begin{aligned} &\left|\left\langle 00 \mid \beta_{00}\right\rangle\right|^{2}=\left|\frac{\langle 00 \mid 00\rangle+\langle 00 \mid 11\rangle}{\sqrt{2}}\right|^{2}=\frac{1}{2} \\ &\left|\left\langle 01 \mid \beta_{00}\right\rangle\right|^{2}=\left|\frac{\langle 01 \mid 00\rangle+\langle 01 \mid 11\rangle}{\sqrt{2}}\right|^{2}=0 \\ &\left|\left\langle 10 \mid \beta_{00}\right\rangle\right|^{2}=\left|\frac{\langle 10 \mid 00\rangle+\langle 10 \mid 11\rangle}{\sqrt{2}}\right|^{2}=0 \\ &\left|\left\langle 11 \mid \beta_{00}\right\rangle\right|^{2}=\left|\frac{\langle 11 \mid 00\rangle+\langle 11 \mid 11\rangle}{\sqrt{2}}\right|^{2}=\frac{1}{2} \end{aligned} ​∣⟨00∣β00​⟩∣2=∣∣∣∣​2​⟨00∣00⟩+⟨00∣11⟩​∣∣∣∣​2=21​∣⟨01∣β00​⟩∣2=∣∣∣∣​2​⟨01∣00⟩+⟨01∣11⟩​∣∣∣∣​2=0∣⟨10∣β00​⟩∣2=∣∣∣∣​2​⟨10∣00⟩+⟨10∣11⟩​∣∣∣∣​2=0∣⟨11∣β00​⟩∣2=∣∣∣∣​2​⟨11∣00⟩+⟨11∣11⟩​∣∣∣∣​2=21​​从上述结果中可以看出， ∣β00⟩|\beta_{00}\rangle∣β00​⟩的测定结果：当第一位的测定结果为0时，第二位必定为0；当第一位的测定结果为1时，第二位必定为1。余下贝尔状态测定结果与此类似，自己动手算上一遍，印象更加深刻！！！

二、量子高密度编码

量子纠缠态能够用来实现量子高密度编码，进而实现 1 个 qubit 传送 2 bit 的信息。考虑 Alice 通过 1 个 qubit 向 Bob 传送 2 bit 的经典信息。在实现通信之前，让 Alice 和 Bob 各自拥有贝尔状态：

∣β00⟩=∣0⟩A∣0⟩B+∣1⟩A∣1⟩B2\left|\beta_{00}\right\rangle=\frac{|0\rangle_{A}|0\rangle_{B}+|1\rangle_{A}|1\rangle_{B}}{\sqrt{2}} ∣β00​⟩=2​∣0⟩A​∣0⟩B​+∣1⟩A​∣1⟩B​​其中，∣⋅⟩A|\cdot\rangle_A∣⋅⟩A​表示 Alice 拥有的 qubit，∣⋅⟩B|\cdot\rangle_B∣⋅⟩B​表示 Bob 拥有的 qubit。在 Alice 和 Bob 之间共同拥有纠缠状态之后，Alice 对应于自己想要发送的信息，在拥有的 qubit 上实施如下的操作：

Alice 在对拥有的 qubit 实施操作以后传送给 Bob，此时 Bob 拥有的 qubit 对的状态，依赖于发送的信息，取不同的贝尔状态。已知贝尔状态构成正规直交基底，因此通过贝尔状态的测定，Bob 能够百分之百的确认 qubit 对的状态是哪一个，从而获取 Alice 发送的信息。

对于测定的结果采用上述方法对信息实施恢复操作即可。由此实现一个qubit传送两位bit值的高密度编码。

比如将 bit 列 10 从 Alice 传送到 Bob。假设 Alice 将自己的 qubit 施加 Z-Gate 演算后的结果传送给 Bob，此时 Bob 从纠缠状态里获得的 2 位 qubit 的状态为：

∣β10⟩=(Z∣0⟩A)∣0⟩B+(Z∣1⟩A)∣1⟩B2=∣0⟩A∣0⟩B−∣1⟩A∣1⟩B2\left|\beta_{10}\right\rangle=\frac{\left(Z|0\rangle_{A}\right)|0\rangle_{B}+\left(Z|1\rangle_{A}\right)|1\rangle_{B}}{\sqrt{2}}=\frac{|0\rangle_{A}|0\rangle_{B}-|1\rangle_{A}|1\rangle_{B}}{\sqrt{2}} ∣β10​⟩=2​(Z∣0⟩A​)∣0⟩B​+(Z∣1⟩A​)∣1⟩B​​=2​∣0⟩A​∣0⟩B​−∣1⟩A​∣1⟩B​​由于∣⟨β10∣β10⟩∣2=1\left|\left\langle\beta_{10} \mid \beta_{10}\right\rangle\right|^{2}=1∣⟨β10​∣β10​⟩∣2=1，于是能够判断测定状态的结果为∣β10⟩\left|\beta_{10}\right\rangle∣β10​⟩，那么传送的信息为 bit 列 10。

三、采用量子比特的通信界限

定理A 有 n 个 bit 的信息要传送给 B。假定 A 和 B 不共有纠缠状态，且无论是从 A 到 B 或是从 B 到 A，都可以无误地传送 qubit。此时设从 A 传送到 B 的 qubit 总数为nABn_{AB}nAB​，从 B 传送到 A 的 qubit 总数为nBAn_{BA}nBA​，则 B 能够正确地获得 A 传送的 n 个 bit 的信息的充分必要条件是：

nAB≥[n2],且nAB+nBA≥nn_{A B} \geq\left[\frac{n}{2}\right], \text { 且 } n_{A B}+n_{B A} \geq n nAB​≥[2n​],且nAB​+nBA​≥n结论：

(1) nBA=0n_{BA}=0nBA​=0，即从B到A不可送信的场合，此时nAB≥nn_{AB} \geq nnAB​≥n。意味着传送 n 个 bit 的信息至少需要 n 个 qubit，换个角度理解，也就是说此时的 qubit 与经典状态差不多，1 个 qubit 只能传送 1 个 bit 的信息，与其能表示无限多状态的性质无关。

(2) 使用纠缠状态，传送 n 个 bit 的信息也至少需要传送[n/2][n / 2][n/2]个 qubit。采用量子高密度编码，用[n/2][n / 2][n/2]个 qubit 可以传送 n 个 bit 的信息。

假设nABn_{AB}nAB​和nBAn_{BA}nBA​满足上述定理，从 A 传送到 B 少于nABn_{AB}nAB​个 qubit 的信息，从 B 传送到 A 少于nBAn_{BA}nBA​个 qubit 的信息。从 A 到 B 传送 n 个 bit 的信息时，可采用如下协议：

(1) nBA=0n_{BA}=0nBA​=0，即从 B 到 A 不可送信的场合，此时nAB≥nn_{AB} \geq nnAB​≥n。如果把 bit 0 编码成∣0⟩|0\rangle∣0⟩，把 bit 1 编码成∣1⟩|1\rangle∣1⟩并从 A 向 B 传送 n 个 qubit，那么 B 能够获取从 A 传送的 n 个 bit 的信息。

(2) [n/2]≤nAB≤n[n / 2] \leq n_{A B} \leq n[n/2]≤nAB​≤n时，首先将B做成n−nABn-n_{AB}n−nAB​对的贝尔状态，且把每一个贝尔状态对的一半 qubit 传送给 A，此时从 B 向 A 传送的 qubit 数为n−nAB(≤nBA)n-n_{AB}(\leq n_{BA})n−nAB​(≤nBA​)个。由此可知，A 和 B 共同拥有(n−nAB)\left(n-n_{A B}\right)(n−nAB​)对的贝尔状态，因此在执行(n−nAB)\left(n-n_{A B}\right)(n−nAB​)次量子高密度编码后，若 A 向 B 传送(n−nAB)\left(n-n_{A B}\right)(n−nAB​)个 qubit，就能够传送2(n−nAB)2\left(n-n_{A B}\right)2(n−nAB​)个 bit 位信息(上述结论(2))。在这之后，同结论(1)一样，使用nAB−(n−nAB)=2nAB−nn_{A B}-\left(n-n_{A B}\right)=2 n_{A B}-nnAB​−(n−nAB​)=2nAB​−n个 qubit，A 将剩余的2nAB−n2 n_{A B}-n2nAB​−n个 bit 传送给 B 即可。