Aα=λαn阶矩阵A×特征向量= 特征值×特征向量
A:n阶矩阵
α:一个n维列向量——矩阵A属于特征值λ的特征向量(特征向量α是非零向量)
λ:一个数——矩阵A的特征值
由Aα=λα移项得 λα-Aα=0→结合律得 (λE-A)α=0:
特征多项式 |λE-A|
特征方程|λE-A|=0
由于α为非零向量|α|≠0,|λE-A|×|α|=0→|λE-A|=0 所有符合等式的λ即为特征值
齐次方程组 (λE-A)x=0
每一个特征值λ都对应一个齐次方程组→求特征向量α就转变为求齐次方程组的非零解。
常见题型一:给定n阶矩阵A,求其特征值和特征向量。
步骤
1、写出特征多项式(行列式)|λE-A|
2、根据特征方程 |λE-A|=0 解出矩阵A所有的特征值λi
3、分别将λi代入方程 (λE-A)x=0中,求得基础解系α1、α2…(一共n-r个解向量)
4、线性组合基础解系 k1α1+k2α2+…(k1、k2不全为零),即为矩阵A属于特征值λi的所有特征向量
若基础解系只有1个解向量,线性组合基础解系 k1α1(k1≠0)。
原因是:特征向量α是非零向量,α≠O
注意:同一道题中,不同特征值λ对应的特征向量在线性组合时,要用k1、k2、k3…,不能只用同一个k。例如λ1对应的特征向量为k1α1(k1≠0),λ2对应的特征向量为k2α1(k2≠0)
常见题型二:给定n阶矩阵A的所有特征值,做加减变形后得新矩阵,求新矩阵的特征值。 P254例5
步骤
1、往往用假设法,设矩阵A属于特征值-1的特征向量是α1,即Aα1= -α1
2、用新矩阵乘以该特征向量α1:B=2E-A,Bα1=(2E-A)α1=2α1-Aα1=3α1,
得到新矩阵B的特征值λ1=3
3、依次假设矩阵A属于特征值0的特征向量是α2,即Aα2= 0α2……
做题经常用到的定理:
1、矩阵对应行列式的值:|A|=特征值的乘积λ1·λ2…λn
2、矩阵A的对角线上的元素之和(矩阵的迹tr(A))=特征值的总和λ1+λ2+…+λn
技巧:
已得到n阶矩阵A通过初等行变换化为行最简矩阵:
(1)常规方法:
1、先找出n-r个(3-1=2)自由变量(黄色的部分)
2、令x2=t,x3=u(t、u为任意常数)得x1-x2-x3=0即x1=t+u,x2=t,x3=u
通解X=,基础解系
(2)快捷方法:
1、先找出n-r个(3-1=2)自由变量(黄色的部分)
2、自由变量对应的第2列和第3列先占位
3、再把?填上,取行最简矩阵中该列的负数(从第一行往下写)
此快捷方法用有难度的题目试一下:P245例6 。快捷方法易错,可以用常规方法验证!两种方法一起使用!
相似矩阵
A为n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使P^(-1)AP=B→ 称A相似于B,B是A的相似矩阵,A~B。
若B为对角矩阵,即A的相似矩阵是对角阵→称A可相似对角化。
相似矩阵的性质:反身性A~A,对称性A~B→B~A,传递性A~B,B~C→A~C
两个n阶矩阵相似的必要条件:换句话说由两个矩阵相似A~B可以推出两个矩阵的
1、特征多项式相同|λE-A|=|λE-B|
2、特征值相同 λ1、λ2、…、λn
3、矩阵的秩相等 r(A)=r(B)
4、对应行列式的值相等 |A|=|B| (=λi)
5、矩阵的迹相等 tr(A)=tr(B) (=λi)
矩阵相似的联想:若A~B→A^n~B^n, A+kE~B+kE, A^(-1)~B^(-1)
(矩阵A)可相似对角化的条件
定理:n阶矩阵A可相似对角化的充要条件:矩阵A有n个线性无关的特征向量。
推论:若n阶矩阵A有n个不同的特征值→ 则矩阵A可相似对角化。
且A的相似矩阵即对角矩阵为。
对角矩阵的主对角线上元素为特征值λ1、λ2…λn
(A可相似对角化的充分条件)
定理:n阶矩阵A可相似对角化的充要条件:(有重根时)矩阵A某个特征值的重数=该特征值对应线性无关的特征向量的个数。
(eg.A可相似对角化↔λ1=λ2=1,矩阵A属于特征值1的-线性无关的特征向量有2个)
1)可逆矩阵P,使矩阵A相似对角化:P^(-1)AP=Λ(前提是n阶矩阵A可相似对角化)
2)正交矩阵Q,使实对称矩阵A相似对角化:Q^(-1)AQ=Λ
★★★常考题型:求可逆矩阵P 使P^(-1)AP=Λ
步骤
1、求特征值,用特征方程|λE-A|=0:求出矩阵A(设为三阶)的n个特征值λ1、λ2、λ3(可以有重根)
2、求相应的特征向量,用齐次方程组的非零解(λE-A)x=0,系数矩阵A化为行最简矩阵写出基础解系:求出n个线性无关的特征向量α1、α2、α3
3、构造可逆矩阵P=(α1,α2,α3),则有P^(-1)AP=Λ=
可逆矩阵P由n个特征向量构成。
易错点:对角矩阵Λ的主对角线上的元素(n个特征值的顺序)和可逆矩阵P中n个特征向量的顺序必须一一对应!
eg:可逆矩阵P=(α3,α1,α2),则有P^(-1)AP=Λ=
常考题型:证明矩阵A(已知具体元素) 不可相似对角化
步骤
联想到矩阵A可相似对角化的充要条件:
(1)矩阵A有n个线性无关的特征向量
(2)(有重根时)矩阵A某个特征值的重数= 该特征值对应线性无关的特征向量的个数
(1)和(2)中任意一个满足,都可推出A可相似对角化
(1)和(2)中任意一个条件不成立,都可推出A不可相似对角化
实对称矩阵
满足A^T=A,即aij=aji
★定理:实对称矩阵 必可相似对角化。
★定理:实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交。
举例:
若λ1对应特征向量α1,λ2—α2,λ3—α3,则有α1,α2,α3相互两两正交;
有重根时,若λ1=λ2对应特征向量α1,α2,λ3—α3,则有α1和α3相互正交,α2和α3相互正交;
定理:设n阶矩阵A为实对称矩阵,必存在正交矩阵Q,使Q^(-1)AQ= Q^(T)AQ= Λ。
因为正交矩阵Q有以下性质:Q^(T)=Q^(-1)
★★★常考题型:求正交矩阵Q 使实对称矩阵A相似对角化 Q^(-1)AQ=Λ
步骤
1、求特征值,用特征方程|λE-A|=0:求出矩阵A(设为三阶)的n个特征值λ1、λ2、λ3(可以有重根)
2、求相应的特征向量,用齐次方程组的非零解(λE-A)x=0,系数矩阵A化为行最简矩阵写出基础解系:求出n个线性无关的特征向量α1、α2、α3
3、改造特征向量
①如果有n个不同的特征值,则有n个特征向量已经正交,只需要单位化,记为γ1,γ2,γ3
②如果特征值有重根,要先判断特征向量是否已经正交:
若已经正交,只需单位化;
若不正交,还需要正交化处理(施密特正交化P239先正交再单位化),记为γ1,γ2,γ3
4、构造正交矩阵Q=(γ1,γ2,γ3),则有Q^(-1)AQ=Λ=
正交矩阵Q由n个正交的单位特征向量构成。
易错点:对角矩阵Λ的主对角线上的元素(n个特征值的顺序)和正交矩阵Q中n个正交的单位特征向量的顺序必须一一对应!
eg:正交矩阵Q=(γ3,γ1,γ2),则有Q^(-1)AQ=Λ=
小结:相似对角化
1)可逆矩阵P,使矩阵A相似对角化:P^(-1)AP=Λ(前提是n阶矩阵A可相似对角化)
2)正交矩阵Q,使实对称矩阵A相似对角化:Q^(-1)AQ=Λ
★综合题型:已知矩阵A是三阶实对称矩阵,已知全部特征值为3,0,0,已知对应特征值λ=3的特征向量为α1=(1,1,1)^T
(1)求矩阵A关于特征值λ=0的特征向量
原理:实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交→两个向量内积为0
步骤
1、设λ=0的特征向量为α=(x1,x2,x3)^T
2、(α1,α)=x1+x2+x3=0,解得α2=(,,)^T,α3=(,,)^T
线性组合:矩阵A关于λ=0的特征向量为k2α2+k3α3 (k2、k3不全为0)
(2)求矩阵A
原理:特征值和特征向量的定义Aα=λα
可逆矩阵的定义A、B都是n阶矩阵,B是A的逆矩阵记为B=A^(-1),则AB=E,BA=E
步骤
1、
2、等式两边同时乘得到A,
(3)求正交矩阵Q使Q^(-1)AQ=Λ
步骤
1、求n个特征值:题干已知λ1=3,λ2=λ3=0
2、求n个线性无关的特征向量:前面小题已经求得α1,α2,α3
3、改造特征向量
首先判断特征向量是否相互正交:对λ=0,由于(α2,α3)=1≠0,特征向量α2和α3不正交,需要施密特正交化:
①正交化
②再单位化
4、构造正交矩阵Q=(γ1,γ2,γ3),则有Q^(-1)AQ=Λ
实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。