指数平滑法

概念：对过去的观察值得加权平均值进行预测的一种方法，适用于水平历史数据

一次指数平滑法：Ft+1 =aYt+(1-a)Ft

Ft表示t时预测值，Yt表示t时观察值。t取1时，F1=Y1。a为平滑系数，介于0到1之间。

最终的式子展开为

平滑系数接近1：越近的值影响越大，模型对时间序列的反应越及时，适合随机波动较大的数列

平滑系数接近0：更适合时间序列比较平稳的序列

实际应用时，应该用均方误差来判断预测误差的大小。但是如果数据是有整体趋势的，指数平滑法并不适用（因为无论如何调整参数都是误差极大的）

二次指数平滑Holt’s linear trend method

lt表示时间序列水平的估计，bt表示时间序列趋势的估计。

a和b都表示参数，a和一次指数平滑

二次指数平滑的结果是可以有趋势的，不是平坦的

这种预测方法

在未来无限地呈现出恒定的趋势(增加或减少)。经验证据表明，这些方法倾向于过度预测，特别是长期预测

damped trend method 衰减趋势法

引入一个参数可以很好的解决二次平滑法长期预测过度预测的问题

Holt-Winters’ seasonal method

Holt-Winters的季节性方法包括预测方程和三个平滑方程–一个是水平ℓt，一个是趋势bt，一个是季节性成分st，有相应的平滑参数α、β和γ。我们用m来表示季节性的频率，即一年中的季节数。例如，对于季度数据m=4，而对于月度数据 m = 12 .

当季节性变化在整个系列中大致不变时，加法是首选，而当季节性变化与系列的水平成比例变化时，乘法是首选。在加法中，季节性成分在观察到的系列规模中以绝对值表示，而在水平方程中，系列通过减去季节性成分而进行季节性调整。在每一年内，季节性成分加起来大约为零。在乘法中，季节性成分是以相对术语（百分比）表示的，系列的季节性调整是通过除以季节性成分来进行的。在每一年内，季节性成分的总和将达到大约 m

Holt-Winters’ additive method

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式中k为(h−1)/m的整数部分，保证用于预测的季节指数估计数来自样本的最后一年。水平方程表示时间t的季节调整观测(yt−st−m)与非季节预报(ℓt−1+bt−1)之间的加权平均。趋势方程与Holt的线性方法相同。季节方程表示当前季节指数(yt−ℓt−1−bt−1)与去年同期(即m个时期以前)的季节指数的加权平均值。

Holt-Winters’ multiplicative method

指数平滑法 二次指数平滑法（Holt’s linear trend method） 季节性预测算法（Holt-Winters’ seasonal method）