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1、北大计算机考研 高等数学真题解答(5题60分)1 (12分)有连续的二阶导数，求。2 (12分)在上连续且，证明：在上必有一点使得。3 (12分)求不定积分。4 (12分)且，有连续的导数，求。5 (12分)在附近可导且导数大于0，证明无穷级数发散，无穷级数收敛。(5题60分)1 (12分)求不定积分。解：。2 (12分)求连续函数，使它满足。解：令则时，时，；。3 (12分)设。证明：和都存在并相等。解：；单调递减；单调递增；由以上两结论可知：有下界，于是存在；有上界，于是存在。令，由有：解得，所以。4 (12分)求和。解：(1) 若，；(2) 若，。5 (12分)求极限。
2、。(5题60分)1 (12分)计算积分。解：。2 (12分)求。解：时，；时，；时，；所以：。3 (12分)设，证明不等式。证：时，令，有；则，有；，所以上单调递增，又，所以，可知上单调递增，又，所以，即。4 (12分)求幂级数的收敛域与和函数。解：求收敛半径：，当时级数收敛，当时级数发散，所以收敛半径。当时，显然发散，所以收敛域。求和函数：；所以：；。5 (12分)设连续，在处可导，且。求。解：令；(7题70分)1 (8分)求。解：2 (10分)设，求。解：等式两边对求导得：，化简得(是确定的隐函数)；再次对求导得，将代入得：(是确定的隐函数)。3 (8分2)求下列不定积。
3、分：(1) ；(2) 。解：(1) 。(2) 4 (8分)求，其中n为自然数。解：令，则，；。5 (8分)若，试证：。证：时，。时，由拉格朗日中值定理易知：，使得：；显然是单调递增函数，故，即，所以有。6 (10分)求。解：令。则7 (10分)设曲线上的非负连续函数，表示由所围成的图形绕直线旋转而成的旋转体的体积。试证明：。证：取轴为积分坐标，的变化范围为。轴上对应的一小段旋转柱体可近似展开成矩形薄板，宽为点绕直线旋转得到的圆周长，高为，厚为，故。所以。于是，。(6题50分)1 (6分)求。解：。2 (8分)设，求。解：时：；时：；时：。3 (8分)求，其中是非负整数，先建立递推公式。
4、，然后求定积分的值。解：4 (8分)求的和。解：()5 (10分)设。(1) 证明数列收敛。证：，即数列单调递减有下界，所以收敛。在其中添加一项得数列，收敛性不变，仍然收敛。(2) 求极限。解：由(1)知数列收敛，即极限存在，令，由有，即，由(1)知，解得。所以。6 (10分)有半径为的半球形固定杯子，杯内放一根长为的均匀细棒(见图)，假设棒与杯子之间没有摩擦力，求棒的平衡位置(重心最低的位置)。解：设细棒与水平面夹角为；细棒重力为，细棒与杯沿接触点的作用力为，与杯内壁接触点的作用力为；由作用力平衡得：和，解得；由作用于细棒与杯内壁接触点处的力矩平衡得：将代入上式并化简得：；解得：。更佳解：设。
5、细棒与水平面夹角为，细棒重心到水平面距离为，则：，原问题即为取何值时最小；，令，解得：。(3题22分)1 (6分)设，求。解：等式两边对求导得：，化简得，再次对求导得：。2 (8分)设，求。解：当时，；当时，。3 (8分)求。解：令，则，。2002年(3题20分)1 (6分)计算。解：2 (7分)设在上连续且大于0。试证明：存在，直线将在区间上的以为曲线边的曲边梯形分成两部分，使得左右两部分的面积之比为且这样的是唯一的。解：由题意，任意一条位于之间的垂直线将曲边梯形分成的左右两部分的面积分别为：；令，则，由零值定理知在区间至少有一个零值；又，知区间单调递增，至多有一个零值；所以存在唯。
6、一的，使得即，也即存在唯一的使得左右两部分面积之比为。3 (7分)求级数的和及收敛半径。解：求收敛半径：，当时级数收敛，当时级数发散，所以收敛半径；求和函数：令，则。2001年(3题22分)1 (7分)设上连续，且，记，求。解：由及已知条件有：上式两边对求导得：；所以有：。2 (7分)求级数的和及收敛区间。解：求收敛区间：，所以收敛半径；当时，级数成为，级数是发散的；当时，级数成为，不存在，级数是发散的；所以收敛区间；求和函数：，则。3 (8分)设函数在上有二阶导数，且，证明：(1) 在内；(2) 存在，使。证：(1) 反证法证明之。假设存在使得，又，则：使得使得，这与已知条件矛盾。所以不存在使得即在内。(2) 令，则由有：使得，又由题设及(1)知，所以。2000年(3题22分)1 (7分)设，求。解：两边求导得：由得代入上式得2 (8分)在曲线上求一点，使得曲线与过点的水平直线、轴及围成的区域面积最小。解：设点坐标为，则目标区域面积；令，解得，；，；所以当点坐标为时目标区域面积最小。3 (7分)设，且当充分大时恒有。证明：若收敛，则收敛。证：当充分大时恒有(是使得成立的的最小值)，又收敛，由比较审敛法知收敛。
