旋转矩阵公式推导

1.在二维平面中：如下图所示，在xoy平面中有一向量op⃗=(x,y)T，旋转ϕ角后变为向量op⃗′=(x′,y′)T。

据图可得：x=|op⃗|cosθ；y=|op⃗|sinθ，经旋转ϕ角后有:

x′=|op⃗|cos(θ+ϕ)=|op⃗|(cosθcosϕ−sinθsinϕ)=xcosϕ−ysinϕ

y′=|op⃗|sin(θ+ϕ)=|op⃗|(sinθcosϕ+cosθsinϕ)=xsinϕ+ycosϕ；

写成矩阵形式：

(x′y′)=(cosϕsinϕ−sinϕcosϕ)(xy)

2.在三维空间中：如下图所示，若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。

例： op⃗绕X轴旋转ϕ角，有：

旋转前：

旋转后：

写成矩阵形式：

则绕X轴旋ϕ角的旋转矩阵为：Rx(ϕ)=（1000cosϕ−sinϕ0sinϕcosϕ）

同理可得绕X、Y、Z轴旋转的不同角度的旋转矩阵（方向余弦矩阵）分别为：

最后，若op⃗绕某一定轴旋转，从欧拉定律中可知，绕着固定轴做一个角值的旋转，可以被视为分别以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z作为旋转轴的旋转的叠加。