简支梁截面抗弯模量计算分析
三． 剪力图与弯矩图
v1.0 可编辑可修改
弯矩图：(1)梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并 且在集中力作用处，弯矩发生转折；
在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小 。
1
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(2)梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开 口方向与均布载荷的方向一致。
(3)梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为 0；若有 集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。
例 7－5 图示简支梁，受集中力 FP 和集中力偶 M0=FPl 作用，试作 此梁的弯矩图。
2
v1.0 可编辑可修改
3
例
v1.0 可编辑可修改
总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律： (1)梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中 力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量 为集中力偶的大小。 (2)梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口 方向与均布载荷的方向一致。 (3)梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为 0；若有 集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。
4
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四 梁纯弯曲时的强度条件 1．梁纯弯曲的概念 纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 Q = 0，M = 常数。
2．梁纯弯曲时横截面上的正应力 ．梁纯弯曲时的变形特点 平面假设： 1)变形前为平面变形后仍为平面 2)始终垂直与轴线 中性层：既不缩短也不伸长(不受压不受拉)。 中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。 中性轴：中性层与横截面的交线
5
v1.0 可编辑可修改
变形时横截面是绕中性轴旋转的。 ．梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。
由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维 从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向 也是线性分布的。以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉 应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远 点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。
6
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．梁纯弯曲时正应力计算公式 在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力
为 式中， M 为作用在该截面上的弯矩(Nmm)； y 为计算点到中性轴
的距
-07-09
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简支梁截面抗弯模量计算分析
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三． 剪力图与弯矩图 弯矩图：(1)梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并 且在集中力作用处，弯矩发生转折；
在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小 。
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(2)梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开 口方向与均布载荷的方向一致。
(3)梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为 0；若有 集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。
例 7－5 图示简支梁，受集中力 FP 和集中力偶 M0=FPl 作用，试作 此梁的弯矩图。
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例
总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律： (1)梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中 力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量 为集中力偶的大小。 (2)梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口 方向与均布载荷的方向一致。 (3)梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为 0；若有 集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。
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四 梁纯弯曲时的强度条件 1．梁纯弯曲的概念 纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 Q = 0，M = 常数。
2．梁纯弯曲时横截面上的正应力 ．梁纯弯曲时的变形特点 平面假设： 1)变形前为平面变形后仍为平面 2)始终垂直与轴线 中性层：既不缩短也不伸长(不受压不受拉)。 中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。 中性轴：中性层与横截面的交线
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变形时横截面是绕中性轴旋转的。 ．梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。
由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维 从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向 也是线性分布的。以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉 应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远 点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。
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．梁纯弯曲时正应力计算公式 在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力
为 式中， M 为作用在该截面上的弯矩(Nmm)； y 为计算点到中性轴
的距离(mm)；为横截面对中性轴 z 的惯性矩(mm4)。 在中性轴上 y=0，所以=0 ；当 y=ymax 时，=max 。最大正应力
产生在离中性轴最远
-06-12
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抗弯截面系数
截面抵抗矩
(1)：截面抵抗矩(W)就是截面对其形心轴惯性矩与截面上最远点至形心轴距离的比
值。主要用来计算弯矩作用下截面最外边的正应力。工程实际中最常见的弯曲问题是横力弯 曲，横截面上不仅有正应力，而且还有切应力。由于切应力的作用，横截面发生翘曲，平面 假设不再成立。但进一步的理论分析证明，对于跨长与截面高度比 l/h>5 的长梁利用公式 δ=My/I 来计算其横力弯曲的正应力，所得结果误差甚微，足够满足工程实际需要。其中 W=I/y，W 称为抗弯截面系数(又称为截面抵抗矩)。由于横力弯曲时，梁的弯矩随截面位 置变化，Mmax 所在截面称为危险截面，最大弯曲正应力发生在弯矩最大的截面上，且离中 心轴最远处，该处为危险点。
中和轴的确定
1)找出达到极限弯矩时截面的中和轴。中和轴分为弹性中和轴和塑性中和轴。 弹性状态下的中和轴：整个截面关于经此轴线的截面面积矩为 0。横截面在此轴线弯曲正应 力为 0。(中和轴初始定义即为构件弯曲后某一截面的长度没有改变即为没有正应力或者说 轴力)(和形心的定义一致，一般情况下中和轴即为形心的一条轴线) 截面面积矩：指弹性状态下截面各微元面积与各微元至中和轴距离乘积的积分。单位 mm。 指弹性状态下中和轴一侧截面的面积矩，主要用于计算截面上任意点的剪切应力值。 塑性状态下的中和轴：塑性中和轴为构件截面面积平分线，该中和轴两边的面积相等。
2)弹性状态下截面抵抗矩：如本文开头定义。其意义在于在弹性状态下计算某一 构件断面位置最不利位置的最大应力，该位置应力满足则此位置截面满足计算要求；
塑性状态下截面塑性抵抗矩：分别求两侧面积对中和轴的面积矩，面积矩之和 即为塑性截面模量，也称为塑性抵抗矩。
常用截面抗弯系数公式
矩形截面抵抗矩 W=bh^2/6 圆形截面的抵抗矩 W=πd^3/32 圆环截面抵抗矩：W=π(D^4-d^4)/(32D)。
常见截面面积、形心和惯性矩抗弯系数公式
常见图形的面积、形心和惯性矩
序 号 图形
面积
表 2—2.1
形心位
置
惯性矩(形心轴)
1
2
3 4 5 6
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抗弯截面系数
截面抵抗矩
(1) ：截面抵抗矩(W)就是截面对其形心轴惯性矩与截面上最远点至形心轴距离的比
值。 主要用来计算弯矩作用下截面最外边的正应力。 工程实际中最常见的弯曲问题是横力弯 曲，横截面上不仅有正应力，而且还有切应力。由于切应力的作用，横截面发生翘曲，平面 假设不再成立。但进一步的理论分析证明，对于跨长与截面高度比 l/h>5 的长梁利用公式 δ=My/I 来计算其横力弯曲的正应力，所得结果误差甚微，足够满足工程实际需要。其中 W=I/y，W 称为抗弯截面系数(又称为截面抵抗矩) 。由于横力弯曲时，梁的弯矩随截面位 置变化，Mmax 所在截面称为危险截面，最大弯曲正应力发生在弯矩最大的截面上，且离中 心轴最远处，该处为危险点。
中和轴的确定
1)找出达到极限弯矩时截面的中和轴。中和轴分为弹性中和轴和塑性中和轴。 弹性状态下的中和轴：整个截面关于经此轴线的截面面积矩为 0。横截面在此轴线弯曲正应 力为 0。 (中和轴初始定义即为构件弯曲后某一截面的长度没有改变即为没有正应力或者说 轴力) (和形心的定义一致，一般情况下中和轴即为形心的一条轴线) 截面面积矩：指弹性状态下截面各微元面积与各微元至中和轴距离乘积的积分。单位 mm。 指弹性状态下中和轴一侧截面的面积矩，主要用于计算截面上任意点的剪切应力值。 塑性状态下的中和轴：塑性中和轴为构件截面面积平分线，该中和轴两边的面积相等。 2)弹性状态下截面抵抗矩：如本文开头定义。其意义在于在弹性状态下计算某一 构件断面位置最不利位置的最大应力，该位置应力满足则此位置截面满足计算要求； 塑性状态下截面塑性抵抗矩：分别求两侧面积对中和轴的面积矩，面积矩之和 即为塑性截面模量，也称为塑性抵抗矩。
常用截面抗弯系数公式
矩形截面抵抗矩 W=bh^2/6 圆形截面的抵抗矩 W=πd^3/32 圆环截面抵抗矩：W=π(D^4-d^4)/(32D)。
常见截面面积、形心和惯性矩抗弯系数公式
常见图形的面积、形心和惯性矩 序 号 表 2—2.1 形 心 位 惯性矩(形心轴) 置
图
形
面 积
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抗弯截面系数
截面抵抗矩
(1)：截面抵抗矩(W)就是截面对其形心轴惯性矩与截面上最远点至形心轴距离的比
值。主要用来计算弯矩作用下截面最外边的正应力。工程实际中最常见的弯曲问题是横力弯 曲，横截面上不仅有正应力，而且还有切应力。由于切应力的作用，横截面发生翘曲，平面 假设不再成立。但进一步的理论分析证明，对于跨长与截面高度比 l/h>5 的长梁利用公式 δ=My/I 来计算其横力弯曲的正应力，所得结果误差甚微，足够满足工程实际需要。其中 W=I/y，W 称为抗弯截面系数(又称为截面抵抗矩)。由于横力弯曲时，梁的弯矩随截面位 置变化，Mmax 所在截面称为危险截面，最大弯曲正应力发生在弯矩最大的截面上，且离中 心轴最远处，该处为危险点。
中和轴的确定
1)找出达到极限弯矩时截面的中和轴。中和轴分为弹性中和轴和塑性中和轴。 弹性状态下的中和轴：整个截面关于经此轴线的截面面积矩为 0。横截面在此轴线弯曲正应 力为 0。(中和轴初始定义即为构件弯曲后某一截面的长度没有改变即为没有正应力或者说 轴力)(和形心的定义一致，一般情况下中和轴即为形心的一条轴线) 截面面积矩：指弹性状态下截面各微元面积与各微元至中和轴距离乘积的积分。单位 mm。 指弹性状态下中和轴一侧截面的面积矩，主要用于计算截面上任意点的剪切应力值。 塑性状态下的中和轴：塑性中和轴为构件截面面积平分线，该中和轴两边的面积相等。
2)弹性状态下截面抵抗矩：如本文开头定义。其意义在于在弹性状态下计算某一 构件断面位置最不利位置的最大应力，该位置应力满足则此位置截面满足计算要求；
塑性状态下截面塑性抵抗矩：分别求两侧面积对中和轴的面积矩，面积矩之和 即为塑性截面模量，也称为塑性抵抗矩。
常用截面抗弯系数公式
矩形截面抵抗矩 W=bh^2/6 圆形截面的抵抗矩 W=πd^3/32 圆环截面抵抗矩：W=π(D^4-d^4)/(32D)。
常见截面面积、形心和惯性矩抗弯系数公式
常见图形的面积、形心和惯性矩
序 号 图形
面积
表 2—2.1
形心位
置
惯性矩(形心轴)
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抗弯截面系数
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截面抵抗矩
(1)：截面抵抗矩(W)就是截面对其形心轴惯性矩与截面上最远点至形心轴距离的比
值。主要用来计算弯矩作用下截面最外边的正应力。工程实际中最常见的弯曲问题是横力弯 曲，横截面上不仅有正应力，而且还有切应力。由于切应力的作用，横截面发生翘曲，平面 假设不再成立。但进一步的理论分析证明，对于跨长与截面高度比 l/h>5 的长梁利用公式 δ=My/I 来计算其横力弯曲的正应力，所得结果误差甚微，足够满足工程实际需要。其中 W=I/y，W 称为抗弯截面系数(又称为截面抵抗矩)。由于横力弯曲时，梁的弯矩随截面位 置变化，Mmax 所在截面称为危险截面，最大弯曲正应力发生在弯矩最大的截面上，且离中 心轴最远处，该处为危险点。
中和轴的确定
1)找出达到极限弯矩时截面的中和轴。中和轴分为弹性中和轴和塑性中和轴。 弹性状态下的中和轴：整个截面关于经此轴线的截面面积矩为 0。横截面在此轴线弯曲正应 力为 0。(中和轴初始定义即为构件弯曲后某一截面的长度没有改变即为没有正应力或者说 轴力)(和形心的定义一致，一般情况下中和轴即为形心的一条轴线) 截面面积矩：指弹性状态下截面各微元面积与各微元至中和轴距离乘积的积分。单位 mm。 指弹性状态下中和轴一侧截面的面积矩，主要用于计算截面上任意点的剪切应力值。 塑性状态下的中和轴：塑性中和轴为构件截面面积平分线，该中和轴两边的面积相等。
2)弹性状态下截面抵抗矩：如本文开头定义。其意义在于在弹性状态下计算某一 构件断面位置最不利位置的最大应力，该位置应力满足则此位置截面满足计算要求；
塑性状态下截面塑性抵抗矩：分别求两侧面积对中和轴的面积矩，面积矩之和 即为塑性截面模量，也称为塑性抵抗矩。
常用截面抗弯系数公式
矩形截面抵抗矩 W=bh^2/6 圆形截面的抵抗矩 W=πd^3/32 圆环截面抵抗矩：W=π(D^4-d^4)/(32D)。
常见截面面积、形心和惯性矩抗弯系数公式
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-10-06
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抗弯截面模量按表11
抗弯截面模量按表 11.5 中计算 3 3 3 W=0.1d =0.1*50 =12500mm 抗扭截面模量
截面左侧的弯矩 M 为 截面上的扭矩为
截面上的弯曲应力
截面上的扭转切应力
截面上由于轴肩而形成的理论应力集中系数 D/d=67/50=1.34 得 又由第 3 章可得轴的材料的敏感系数为 故有效应力集中系数为：
及
由第 3 章可知，
qa=0.82 qt=0.85
由第 3 章知尺寸系数
；扭转尺寸系数
。
轴按磨削加工，由第 3 章得表现质量系数值为
轴未经表面强化处理，即
，则由第 3 章得综合系数值为
又由第 3 章的材料特性系数
于是，计算安全系数
值，按式得
>>S=1.5 故可知其安全。
-12-18
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常见截面的惯性矩和抗弯截面系数
-08-02
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计算抗弯惯性矩的几种方法
计算抗弯惯性矩的几种方法： 计算抗弯惯性矩的几种方法：
可以计算截面的面积、周长、 一、在 AUTOCAD 中有一个命令 massprop 可以计算截面的面积、周长、 质心、 质心、惯性矩
1 p0 ~5 a! w8 n 1 L2 U / Q
操作简介：1、首先在 CAD 中画出如下图的图形；2、用 region 命令将图形转 化成内外两个区域；3、用 subtract 命令求内外区域的差集；4、用 move 命令将 图形移动至(0，0，0)，用 scale 命令将图形单位调整为米；5、用 massprop 命令计算截面性质(可惜这个命令不能计算抗扭惯距) Command: mas MASSPROP Select objects: 1 found Select objects: ---------------REGIONS ---------------Area(面积): 1.2739 Perimeter(周长): 13.7034 Bounding box(边缘): X: -1.7000 -- 1.7000 Y: 0.0000 -- 1.6000 Centroid(质心): X: 0.0000 Y: 1.0458 Moments of inertia: X: 1.7883 Y: 0.7922 Product of inertia: XY: 0.0000 Radii of gyration: X: 1.1848 Y: 0.7886 Principal moments and X-Y directions about centroid: 0.0000]这就是惯距 I: 0.3950 along [1.0000 0.0000 J: 0.7922 along [0.0000 1.0000]
+ n) ?3 N2 ^) ]- T8 b# H' U7 K 4 c( f3 [$ q8 {8 }8 }% P( C: e , `1 J& g/ k9 R0 a; g# L8 E, A ; W7 ^( X# @# G 2 Q+ h- b% D# _7 ~0 n% ^ 3 J* @( Q$ V. r( H' W6 S" Y' B8 { ' p* v4 ], `2 l" Z: \2 B6 K # T; e% t3 q" M0 e) v# c- L. L7 M $ ?9 g' Z- K0 D
-09-03
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矩形截面惯性矩及抗弯截面系数
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矩形截面惯性矩及抗弯截面系数：
注：对于灭菌器设备中加强筋与壳体或门板组成的组合截面求抗弯截 面系数，可将组合截面分为两部分：1 空心矩形+2 实心矩形，分别求 出抗弯系数后二者相加(栾飞 -10-19) 可用 CAD 计算抗弯系数 -03-15
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圆形环形截面抗弯模量及惯性矩公式：
抗扭截面系数：
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-10-08
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矩形截面惯性矩及抗弯截面系数
矩形截面惯性矩及抗弯截面系数： 圆形环形截面抗弯模量及惯性矩公式：
抗扭截面系数：
-05-23
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抗弯强度计算公式
工字钢抗弯强度计算方法
一、梁的静力计算概况 1、单跨梁形式： 简支梁 2、荷载受力形式： 简支梁中间受集中载荷 3、计算模型基本参数：长 L =6 M 4、集中力：标准值 Pk=Pg+Pq =40+40=80 KN 设计值 Pd=Pg*γG+Pq*γQ =40*1.2+40*1.4=104 KN
工字钢抗弯强度计算方法
二、选择受荷截面 1、截面类型： 工字钢：I40c 2、截面特性： Ix= 23850cm4 Wx= 1190cm3 Sx= 711.2cm3 G= 80.1kg/m 翼缘厚度 tf= 16.5mm 腹板厚度 tw= 14.5mm
工字钢抗弯强度计算
方法三、相关参数 1、材质：Q235 2、x 轴塑性发展系数 γx：1.05 3、梁的挠度控制 〔v〕：L/250
工字钢抗弯强度计算方法
四、内力计算结果 1、支座反力 RA = RB =52 KN 2、支座反力 RB = Pd / 2 =52 KN 3、最大弯矩 Mmax = Pd * L / 4 =156 KN.M
工字钢抗弯强度计算方法
五、强度及刚度验算结果
1、弯曲正应力 σmax = Mmax / (γx * Wx)＝124.85 N/mm2 2、A 处剪应力 τA = RA * Sx / (Ix * tw)＝10.69 N/mm2 3、B 处剪应力 τB = RB * Sx / (Ix * tw)＝10.69 N/mm2 4、最大挠度 fmax = Pk * L ^ 3 / 48 * 1 / ( E * I )=7.33 mm 5、相对挠度 v = fmax / L =1/ 818.8 弯曲正应力 σmax= 124.85 N/mm2 < 抗弯设计值 f : 205 N/mm2 ok! 支座最大剪应力 τmax= 10.69 N/mm2 < 抗剪设计值 fv : 125 N/mm2 ok! 跨中挠度相对值 v=L/ 818.8 < 挠度控制值 〔v〕:L/ 250 ok! 验算通过！
钢板抗弯强度计算公式
钢板强度校核公式是：σmax= Mmax / Wz ≤ [σ] 4x 壁厚 x(边长-壁厚)x7.85 其中，边长和壁厚都以毫米为单位，直接把数值代入上述公式，得出即为每米方管的重量， 以克为单位。 如 30x30x2.5 毫米的方管，按上述公式即可算出其每米重
-05-28
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简支梁正截面抗弯承载力计算公式
桥梁承载力计算用表
13m简支梁桥钢筋砼主梁正截面抗弯承载力计算表
Ⅰ、基本参数 编号 一 1 2 3 4 5 6 7 8 9 梁高 梁(腹板)宽 受压翼缘板宽 受压翼缘板厚 受弯构件计算跨径 预筋和钢筋合力至拉区边缘 钢筋合力至拉区边缘距离 挖空圆的直径 毛截面积型心至底边 参数名称 几何参数 符号 单位 数值 编号 二 参数名称 材料性能参数 砼轴心抗压强度设计值 箍筋抗拉强度设计值 预应力抗拉强度设计值 砼弹性模量 钢筋弹性模量 预应力弹性模量 主筋抗拉强度设计值 符号 单位 数值 编号 三 参数名称 计算系数及其他参数 桥梁结构的重要性系数 钢筋与砼的弹性模量比 预筋与砼的弹性模量比 纵向受拉钢预筋配筋率 受拉钢筋截面积 符号 单位 数值
h b b'f h'f L a as D Yx
mm mm mm mm mm mm mm mm mm
500 280 990 75 12600 39 39 350 250
1 2 3 4 5 6 7 8 9
fcd fsd fpd Ec Es Ep fsd
MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa
13.8 195
1 2 3
γ α α ρ
o ES Ep
mm2
1 6.666667 0 0.014279 6381
31500 210000
4 5 6
As A Ao Yo
280
7 8
毛截面积 换算截面积 换算截面积型心至底边
mm2 mm2 mm
446894 483055 257
板的铰缝截面积
mm2
9
Ⅱ、计算参数 编号 1 2 计算参数名称 截面有效高度 中性轴 或中性轴 判断(ξ ho) 结论：取值为 Ⅲ、计算结果 1 正截面抗弯承载力 符号 单位 数值 461 91 132 184 91 计算公式及说明
ho x x x Md
mm mm mm mm mm
ho=h-a
x值由下式确定：
fsd As+fpd A p = fcd b'f x ；但若x＞b'f ，则
h'f-x=
(16)
x值由下式确定： fsd As+fpd A p = fcd[ b x+(b'f-b)h'f] ；且x≤0.4ho(预砼)或x≤0.56ho(钢筋砼)
kn.m kn.m
517 457 517
当x≤b'f，则Md=fcdb’f
-01-05
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矩形截面惯性矩附抗弯截面系数
矩形截面惯性矩及抗弯截面系数： 圆形环形截面抗弯模量及惯性矩公式：
1/3
抗扭截面系数： 2/3
3/3
-05-12
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不规则模型截面抗弯模量快速求法
不规则截面抗弯模量快速求法
BY： 姜国政
不规则截面抗弯模量快速求法
1.支架计算时会遇到不常用的组合型钢截面， 如何快速计算截面模量是利用现有公式进行强 度计算的关键。 2. PROE 三维建模软件有强大的计算功能， 可以自动处理不规则截面对应的模量和其他参数 计算功能。下面详细说明如何通过该软件来实现这个功能。假设图一的两根槽钢组合形式， 求在 XY 截面内的抗弯模量。
图一
添 加自定 义 截 面，决 定 想 要 求 的 “ 面”上 的 抗弯模量！
图二
1
不规则截面抗弯模量快速求法
BY： 姜国政
自 定义的 截 面为 DTM1
图三
选择 DTM1 截 面，软 件 就 会自动 计 算 抗 弯 模
图四
2
-07-19
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