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罗尔中值定理推广的罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理罗尔中值定理
如果函数fff满足以下条件
（i）fff 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续
（ii）fff 在开区间内可导
（iii）f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)
则在（a，b）中至少存在一点 εεε ，使得
f′(ε)=0f'(ε)=0f′(ε)=0
几何解释：
在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平曲线。
三种条件缺少一个，结论将不一定成立
推广的罗尔中值定理
如果函数f(x)f(x)f(x)在开区间（a,b）可导，在区间端点处的单侧极限存在且相等，即f(a+0)=f(b−0)f(a+0)=f(b-0)f(a+0)=f(b−0)，那么在（a,b）中至少存在一点 ε(a<ε<b)ε (a<ε<b)ε(a<ε<b)，使得f(ε)=0f(ε)=0f(ε)=0
拉格朗日中值定理
如果函数 fff 满足以下条件
（i）fff 在闭区间内 [a,b][a,b][a,b]上连续
（ii）fff 在开区间内 (a,b)(a,b)(a,b) 可导
则在（a，b）中至少存在一点 εεε ，使得
f′(ε)=f(b)−f(a)b−af'(ε)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}f′(ε)=b−af(b)−f(a)
特别是当f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)时，拉格朗日定理的结论即为拉格朗日中值定理的结论。实际上，罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。
拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：
f(b)−f(a)=f′(ε)(b−a)，a<ε<bf(b)-f(a)=f'(ε)(b-a)，a<ε<bf(b)−f(a)=f′(ε)(b−a)，a<ε<b
f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a)，0<θ<1(2)f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))(b-a)，0<θ<1 \tag2f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a)，0<θ<1(2)
f(a+h)−f(a)=f′(a+θh)h，0<θ<1(3)f(a+h)-f(a)=f'(a+θh)h，0<θ<1\tag3f(a+h)−f(a)=f′(a+θh)h，0<θ<1(3)
拉格朗日公式无论对于 a<ba<ba<b 还是 a>ba>ba>b 都成立 ，εεε是介于 a,ba,ba,b 之间的一个数字
下面 2,3 两式的特点是，把中值点εεε表示成了a+θ(b−a)a+θ(b-a)a+θ(b−a)，使得无论 a,ba,ba,b 为何值，θθθ总可为小于111的某值
推论1：
如果函数 fff 在区间III上可导，且 f′(x)=0，x∈If'(x)=0，x∈If′(x)=0，x∈I，则 fff 为 III 上的一个常量函数
推论2：
若函数 fff 和 ggg 均在区间 III 上可导，且 f′(x)=g′(x)f'(x)=g'(x)f′(x)=g′(x) ，则在区间 III 上f(x)f(x)f(x)与g(x)g(x)g(x)只相差一个常数
f(x)=g(x)+cf(x)=g(x)+cf(x)=g(x)+c
柯西中值定理
如果函数 fff ,ggg 满足以下条件
（i）在 [a,b][a,b][a,b] 上都连续
（ii）在 (a,b)(a,b)(a,b) 上可导
（iii）f′(x)f'(x)f′(x) 和 g′(x)g'(x)g′(x) 不同时为零
（iv）g(a)≠g(b)g(a)≠g(b)g(a)=g(b)
则存在 ε∈(a,b)ε∈(a,b)ε∈(a,b)，使得
f′(ε)g′(ε)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)\frac{f'(ε)}{g'(ε)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g′(ε)f′(ε)=g(b)−g(a)f(b)−f(a)
在柯西中值定理中，取 g(x)=xg(x)=xg(x)=x 即得拉格朗日中值定理。
