欢迎来到百家号“米粉老师说数学”,几何动态题,是初中几何中最常见也是难度最大的压轴题型,不管是对于初一、初二或初三的学生,它在试卷上的出现,意味着至少一半以上的学生都得“望洋兴叹”,特别是对于几何处于起步阶段的初一学生,更是“望而却步”,其实,这是没有掌握几何动态题的题目特点及解题规律造成了,今天,我们以一例的详解,通俗易懂的来说一说,解决这一类题型的一个很实用的解题技巧:“复制+粘贴+略作修改”。
例.CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E、F在射线CD上,请解决以下两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE___CF;EF____|BE-AF|(填>、<或=);
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件,使①中的两个结论仍成立,并证明;
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请证明EF、BE、AF三条线段的数量关系。
【思路分析】
此题涉及到一个数学典型模型“一线三等角”模型,(1)、(3)小题中,在直线CD上,出现了三个等角:∠BEC=∠CFA=∠BCA,所以先证△BCE≌△CAF,再利用全等性质即可求证结论;第(2)小题,只不过是自己添加一个条件,使直线CD上出现三个等角,构造出“一线三等角”模型,为证明△BCE≌△CAF提供判定条件。所以就此题的解题顺序是:先解决(1)的第①小题和第(3)小题,这样对“一线三等角模型”的运用过程就更明了更熟悉,进而为解决第②小题的“构造一线三等角模型”提供更清晰的思路导向。
【解题过程】
(1)
(3)
(1)②【思路分析】
要想使①的结论成立且证明,必须先证△BCE≌△CAF,题目已知全等需要的两个条件:∠BEC=∠CFA,BC=AC,由上面的步骤可知:添加的条件,必须能用等量代换的方式推导出∠1=∠3;我们可以参照(1)①的步骤,进行“倒推”证明过程:∠1+∠2=∠BCA,∠2+∠3=180°-∠BEC,要想使∠1+∠2=∠2+∠3得到∠1=∠3,必须使∠BCA=180°-∠BEC,所以添加的条件应该是:∠BCA=180°-∠BEC,即∠BCA+∠α=180°.
【解题过程】
当∠BCA+∠α=180°时,①中的结论仍成立,理由是:
【点评】
仔细观察以上三个小题的解题步骤过程,你会惊奇地发现:太相似了!除了个别步骤有不同外,几乎是“复制+粘贴”,我们详细分析下到底有多少个“复制+粘贴”。
①解题步骤几乎相同,
②推导过程中的判定理由及所涉及到的知识点几乎相同:都是用等量代换证明角相等、都是运用AAS证全等、都是利用全等性质“边相等”解题;
③解题思路过程几乎相同:都是先证△BCE≌△CAF,再利用全等性质解题;
④细节上,连∠1、∠2、∠3所表示的角都是完全相同;
解题步骤上的“复制+粘贴”,意味着思路分析过程上的“复制+粘贴”,这是解决初中几何动态题目一个最大且最实用的解题技巧。它不是源自于巧合,而是源自于这类题的题型特点:图动但题目主干条件不变或大致不变,既然题目的重要条件都没做过多变化,它的分析思路及解题过程,又能有多大变化?
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