一次函数与几何变换
一次函数的综合题究竟有多难？如果和几何变换结合，会不会吓哭众多考生呢？
下面，精选一道一次函数的压轴题，结合几何变换中的平移，以及因动点产生的面积问题、因动点产生的直角三角形问题，供冲刺阶段的考生复习。
同时，初二的学生也可以参考一下，为初三压轴题的学习做好准备。
例题讲解
如图（1），平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+1的图象与y轴交于点A，点B是第二象限一次函数y=﹣x+1的图象上一点，且S△OAB=3，点C的坐标为（﹣2，﹣3）．
（1）求A，B的坐标；
（2）如图（1）若点D是线段BC上一点，且三角形ABD的面积是三角形ABC的一半，求△ABC的面积和点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图（2），将线段AC沿直线AB平移，点A的对应点为A1 ， 点C的对应点为C1 ， 连接A1D，C1D，当△A1C1D直角三角形时，求A1的坐标．
例题分析
【分析】①一次函数y=﹣x+1的图象与y轴交于点A，求出点A的坐标为（0，1），点B是第二象限一次函数y=﹣x+1的图象上一点，得到B的横坐标为﹣6，求出点B的坐标为：（﹣6，7）；②过点B作BE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴于点F，交BE于点E，点C的坐标为（﹣2，﹣3），求出BE=10，EF=6，EC=4，CF=2，AF=4，S△ABC=S梯形ABEF﹣S△ACF﹣S△BEC=18，求出点D的坐标为：（﹣4，2）；③由平移可知：点C是点A向左平移2个单位，再向下平移4个单位所得，当△A1C1D直角三角形时，分三种情况当∠DA1C1=90°时，如图2，由勾股定理得： A 1 D ^2 + A 1 C 1^ 2 = D C 1^ 2 ， 求出A1（2，﹣1）；当∠A1C1D=90°时，由勾股定理得x=﹣8，得到A1（﹣8，9）；当∠A1DC1=90°时，由勾股定理求出x的值，得到A1的坐标.
参考答案
（1）解：∵一次函数y=﹣x+1的图象与y轴交于点A，
∴当x=0时，y=1，∴点A的坐标为（0，1），∴OA=1∵S△OAB=3，∴ 0.5 |xB|OA=3，∴|xB|=6，∵点B是第二象限一次函数y=﹣x+1的图象上一点，∴B的横坐标为：﹣6，则y=﹣（﹣6）+1=7，∴点B的坐标为：（﹣6，7）（2）解：如图1，过点B作BE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴于点F，交BE于点E， ∵点C的坐标为（﹣2，﹣3），∴BE=10，EF=6，EC=4，CF=2，AF=4，∴S△ABC=S梯形ABEF﹣S△ACF﹣S△BEC=0.5 ×（4+10）×6﹣0.5×4×2﹣0.5 ×10×4=18；∵点D是线段BC上一点，且三角形ABD的面积是三角形ABC的一半，∴点D是BC的中点，∴点D的坐标为：（﹣4，2）
（3）解：如图2，∵A（0，1），C（﹣2，﹣3），∴由平移可知：点C是点A向左平移2个单位，再向下平移4个单位所得，设A1（x，﹣x+1），则C1（x﹣2，﹣x+1﹣4），即（x﹣2，﹣x﹣3），当△A1C1D直角三角形时，分三种情况：①当∠DA1C1=90°时，如图2，由勾股定理得：A1D^2+A1D^2=DC1^2 ，∴（x+4）^2+（﹣x+1﹣2）^2+（x﹣2﹣x）^2+（﹣x﹣3+x﹣1）^2=（x﹣2+4）^2+（﹣x﹣3﹣2）^2解得：x=2，∴A1（2，﹣1）；②当∠A1C1D=90°时，如图3，由勾股定理得： A1C1^2+C1D^2=DA1^2 ，
∴（x﹣2﹣x）^2+（﹣x﹣3+x﹣1）^2+（x﹣2+4）^2+（﹣x﹣3﹣2）^2=（x+4）^2+（﹣x+1﹣2）^2 ， 解得：x=﹣8，∴A1（﹣8，9）；
③当∠A1DC1=90°时，如图4和图5，由勾股定理得：A1D^2+C1D^2=A1C1^2 ，
∴（x+4）^2+（﹣x+1﹣2）^2+（x﹣2+4）^2+（﹣x﹣3﹣2）^2=（x﹣2﹣x）^2+（﹣x﹣3+x﹣1）^2 ， 2x^2+12x+13=0，
小结
一次函数的压轴题在中考中并不多见，尤其是一次函数与几何的综合题目。但是在备考时，这一块千万不要遗忘。因为倒数第3题有可能是一次函数的综合题，虽说难度不算太大，但是也能打到一批考生。而题中的分类讨论思想，却是中考常考的数学思想方法，不可忽视！
