10.如图所示,直线 y=x + c 与 x 轴交于点 A(﹣4,0),与 y 轴交于点 C,抛物线 y=﹣x2 + bx + c 经过点 A、C,点 M 是线段 OA 上的一个动点,过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AC 和抛物线分别交于点 P、N.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当以 C、P、N 为顶点的三角形为直角三角形时,S△CPN= ;
(3)过点 N 作 NH⊥AC 于 H,求 S△HPN 的最大值.
【解析】解:
(1)将点 A (﹣4,0)代入直线 y= x + c 得:c=4,
则抛物线的表达式为:y=﹣x2 + bx + 4,
再将点 A(﹣4,0)代入抛物线 y=﹣x2 + bx + 4 并解得:b=﹣3,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣3x + 4;
(2)
① 当 ∠CNP= 90° 时,如下图所示:
点 N(﹣3,4),点 P(﹣3,1),
S△CPN=1/2 × CN × PN=1/2 × 3 × 3=9/2;
② 当 ∠NCP=90° 时,如下图所示:
点 N(x,﹣x2﹣3x + 4),点 P(x,x + 4),点 C(0 , 4),
在 Rt△NCP 中,
NP2 =(﹣x2﹣4x )2,NC2 = x2 +(﹣x2﹣3x )2,PC2 = x2 + x2 ,
根据勾股定理:NP2 = NC2 + PC2,
∴ (﹣x2﹣4x )2 = x2 +(﹣x2﹣3x )2 + x2 + x2,
解得 x = -2 或 0(舍去),
∴ N(-2 , 6) ,P(-2 ,2),
S△CPN=1/2 × NP × 2=1/2 × 4 × 2=4;
由图可知 ∠NPC ≠ 90°;
故答案为:9/2 或 4;
(3)设点 N(x,﹣x2﹣3x + 4),则点 P(x,x + 4),
∵ OA=OC,
∴ ∠HPN=∠APM=∠PAM = 45°,
∴ S△HPN=1/2 × NH × PH=1/4(NP)2,
∵ NP=﹣x2﹣3x + 4﹣x﹣4=﹣x2﹣4x,
∴ 当 x=﹣2 时,NP 的最大值为:4,
故 S△HPN=1/2 × NH × PH=1/4(NP)2 = 1/4 × 4 × 4=4,
∴ S△HPN 的最大值为 4.
【总结】
(1)把点的坐标代入函数解析式,求出 c、b,从而确定抛物线的解析式非常简单;
(2)分类讨论,根据图像可知存在两种情况,第一种情况比较容易求出面积,第二种情况先设出点的坐标来,在直角三角形中通过勾股定理建立方程,用了两点之间的距离公式来表示线段的长,最后把点的坐标求出来,用三角形面积公式求出面积;
(3)这是一个二次函数求最值问题,通过分析可知这个三角形是个等腰直角三角形,先把 N、P 两点的坐标设出来,建立一个面积关于边长的函数关系式,最后根据二次函数的性质来求最值,从而可求出三角形面积的最大值。