新定义学习型阅读理解题,是指题目中首先给出一个新定义(新概念或新公式),通过阅读题目提供的材料,理解新定义,再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自学能力,便于学生养成良好的学习习惯。在全国各地的中考试卷中经常以选择、填空或解题过程题的形式出现。 常见的类型有:
(1)根据新定义直接计算问题:加、减、乘、除是我们所熟悉的四则运算,定义新运算就是打破原有的运算规则,给出一种新的运算方法,并赋予该运算方法新的运算符号,如*、△、◎、※等。此时,只需要将所要求的是式子或者数往该运算规则中代,即可求出答案。
(2)解未知数问题:未知数在方程比较常见。新定义与阅读理解问题中的解未知数,主要是根据未知数所在方程的特点,结合图像特点,思路点拨其中的练习和区别,探索其中的规律。【来源:21·世纪·教育·网】
(3)其他类型综合题:主要考察学生对新定义的理解能力,培养学生的思考能力,从所给的题目中,找到解题规律。21*cnjy*com
解决此类题的关键是(1)深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”; 归纳“举例”提供的做题方法;归纳“举例”提供的分类情况;(3)依据新定义,运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
注意:
(1)无特殊规定时,按从左到右的顺序计算;有括号时,应当先算括号里面的。
(2)新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律,不能随便套用这些运算律来解题。
(3)如※,△,●,★等符号所表示的运算并不是一种固定的算法,而是因题而异,不同的题目有不同的规定,我们应当严格按不同的规定进行运算。
一根据新定义直接计算
例1.(贵州六盘水)定义:A={b,c,a},B={c},A∪B={a,b,c},若M={﹣1},N={0,1,﹣1},则M∪N={}.
【名师点睛】根据新定义解答即可得.
【解题过程】解:∵M={﹣1},N={0,1,﹣1},
∴M∪N={1,0,﹣1},
故答案为:1,0,﹣1.
【名师点睛】本题主要考查有理数,根据题意理解新定义是解题的关键.
二 解未知数
例2.(山东省济南)定义:在平面直角坐标系xOy中,把从点P出发沿纵或横方向到达点Q(至多拐一次弯)的路径长称为P,Q的“实际距离”.如图,若P(﹣1,1),Q(2,3),则P,Q的“实际距离”为5,即PS+SQ=5或PT+TQ=5.环保低碳的共享单车,正式成为市民出行喜欢的交通工具.设A,B,C三个小区的坐标分别为A(3,1),B(5,﹣3),C(﹣1,﹣5),若点M表示单车停放点,且满足M到A,B,C的“实际距离”相等,则点M的坐标为
.
【名师点睛】若设M(x,y),构建方程组即可解决问题.
【解题过程】解:由题意可得M在第4象限,若设M(x,y),则由题目中对“实际距离”的定义可得方程组:3﹣x+1﹣y=y+5+x+1=5﹣x+3+y,
解得,x=1,y=﹣2,则M(1,﹣2)
故答案为:(1,﹣2).
【名师点睛】此题主要考查了坐标确定位置,正确理解实际距离的定义是解题关键.
三 其它类型综合
例3.(山西省)综合与实践
背景阅读 早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三、股四、弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中,为了方便,在本题中,我们把三边的比为3:4:5的三角形称为(3,4,5)型三角形,例如:三边长分别为9,12,15或3,4,5的三角形就是(3,4,5)型三角形,用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.
实践操作 如图1,在矩形纸片ABCD中,AD=8cm,AB=12cm.
第一步:如图2,将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平.
第二步:如图3,将图2中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF.
第三步:如图4,将图3中的矩形纸片沿AH折叠,得到△AD′H,再沿AD′折叠,折痕为AM,AM与折痕EF交于点N,然后展平.
问题解决
(1)请在图2中证明四边形AEFD是正方形.
(2)请在图4中判断NF与ND′的数量关系,并加以证明;
(3)请在图4中证明△AEN(3,4,5)型三角形;
探索发现
(4)在不添加字母的情况下,图4中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.
【名师点睛】(1)根据矩形的性质得到∠D=∠DAE=90°,由折叠的性质得得到AE=AD,∠AEF=∠D=90°,求得∠D=∠DAE=∠AEF=90°,得到四边形AEFD是矩形,由于AE=AD,于是得到结论;
(2)连接HN,由折叠的性质得到∠AD′H=∠D=90°,HF=HD=HD′,根据正方形的想知道的∠HD′N=90°,根据全等三角形的性质即可得到结论;
(3)根据正方形的性质得到AE=EF=AD=8cm,由折叠得,AD′=AD=8cm,设NF=xcm,则ND′=xcm,根据勾股定理列方程得到x=2,于是得到结论;
(4)根据(3,4,5)型三角形的定义即可得到结论.
【解题过程】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠DAE=90°,
由折叠的性质得,AE=AD,∠AEF=∠D=90°,
∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°,
∴四边形AEFD是矩形,
∵AE=AD,
∴矩形AEFD是正方形;
(2)解:NF=ND′,
理由:连接HN,由折叠得,∠AD′H=∠D=90°,HF=HD=HD′,
∵四边形AEFD是正方形,
∴∠EFD=90°,
∵∠AD′H=90°,
∴∠HD′N=90°,
在Rt△HNF与Rt△HND′中,,
∴Rt△HNF≌Rt△HND′,
∴NF=ND′;
(3)解:∵四边形AEFD是正方形,
∴AE=EF=AD=8cm,
由折叠得,AD′=AD=8cm,
设NF=xcm,则ND′=xcm,
在Rt△AEN中,
∵AN2=AE2+EN2,
∴(8+x)2=82+(8﹣x)2,
解得:x=2,
∴AN=8+x=10cm,EN=6cm,
∴EN:AE:AN=3:4:5,
∴△AEN是(3,4,5)型三角形;
(4)解:图4中还有△MFN,△MD′H,△MDA是(3,4,5)型三角形,
∵CF∥AE,
∴△MFN∽△AEN,
∵EN:AE:AN=3:4:5,
∴FN:MF:CN=3:4:5,
∴△MFN是(3,4,5)型三角形;
同理,△MD′H,△MDA是(3,4,5)型三角形.
【名师点睛】本题考查了折叠的性质,矩形的性质,正方形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,正确的理解题意是解题的关键。
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