典型例题分析1:
如图,已知圆O是△ABC的外接圆,AB是圆O的直径,C是圆上的一点,D是AB延长线上的一点,AE⊥CD交DC的延长线于点E,且AC平分∠EAB.
(1)求证:DE是圆O的切线.
(2)若AB=6,AE=4.8,求BD和BC的长.
典型例题分析2:
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交线段BC,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为F,线段FD,AB的延长线相交于点G.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若CF=1,DF=√3,求图中阴影部分的面积.
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AC=AB,
∴点D为线段BC的中点.
∵点O为AB的中点,
∴OD为△BAC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切线.
(2)解:在Rt△CFD中,CF=1,DF=√3,
∴tan∠C=DF/CF=√3,CD=2,
∴∠C=60°,
∵AC=AB,
∴△ABC为等边三角形,
∴AB=4.
∵OD∥AC,
∴∠DOG=∠BAC=60°,
∴DG=ODtan∠DOG=2√3,
∴S阴影=S△ODG﹣S扇形OBD=DGOD/2﹣60πOB2/360=2√3﹣2π/3.
考点分析:
切线的判定;等腰三角形的性质;扇形面积的计算.
题干分析:
(1)连接AD、OD,由AB为直径可得出点D为BC的中点,由此得出OD为△BAC的中位线,再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF,从而证出DF是⊙O的切线;
(2)CF=1,DF=√3,通过解直角三角形得出CD=2、∠C=60°,从而得出△ABC为等边三角形,再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积.