第6讲一元一次方程与分式方程及其应用
考点分析
1．一元一次方程及解法
（1）等式的性质
性质1：等式两边加(或减)同一个数或同一个数或者代数式，所得结果仍是等式；
性质2：等式两边乘(或除以)同一个数或代数式(除数不能为0)，所得结果仍是等式．
（2）方程的概念
含有未知数的等式叫做方程.
（3）方程的解
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．
（4）一元一次方程
只含有1个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．
（5）一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
2.分式方程及解法
（1）分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
（2）分式方程的解法
解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程，
具体步骤是：①去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，化成整式方程；
②解这个整式方程；
③验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果不等于0 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
3.列方程解应用题的一般步骤
（1）审：审清题意和数量关系，弄清题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系．
（2）设：设未知数(可设直接或间接未知数).
（3）列：根据题意寻找等量关系列方程．
（4）解：解分式方程
（5）答：检验所求的未知数的值是否符合题意(分式方程既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意)，写出答案．
思想方法
基本思想：
解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，即分式方程去分母转化为整式方程．
基本方法：
1.分式方程无解有可能是两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，分式方程也无解.
2.列方程的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：①抓住不变量；②找关键词；③画线段图或列表格；④运用数学公式．
真题精选
1、（通辽）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是
A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏
【分析】设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据销售收入﹣进价=利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的销售收入﹣成本=利润，即可得出商店卖这两件商品总的亏损20元．
【解答】解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，
根据题意得：150﹣x=25%x，150﹣y=﹣25%y，
解得：x=120，y=200，
∴150+150﹣120﹣200=﹣20（元）．
故选：A．
2、（南通模拟）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场，根据总分=3×获胜场数+1×负了的场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场，
根据题意得：3x+（6﹣x）=12，
解得：x=3．
答：该队获胜3场．
故选：B．
例题精讲
类型一等式性质和方程的解的含义
【解后感悟】(1)熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键；(2)本题利用方程的思想，通过方程的解来构造关于a的一元一次方程，求出a值；(3)本题是分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出n－2＜0和n－2≠－0.5，注意题目中的隐含条件2x＋1≠0不要忽略．
类型二一元一次方程的解法
【解后感悟】(1)去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项(尤其是常数项)，若分子是多项式，则要把它看成一个整体加上括号；(2)去括号可用分配律，注意符号，勿漏乘．
类型三分式方程的解法
【解后感悟】此题考查了分式方程的无解情况，分式方程无解问题需要分类讨论：（1）化简为整式方程，整式方程无解；（2）分式方程产生增根。产生增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程：③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解后感悟】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
类型四一元一次方程和分式方程的应用
例题5、（宜宾）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．
【分析】设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机（1+50%）x万部，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前5个月完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解后感悟】此题主要考查了分式方程的应用，此题关键是正确理解题意，找到合适的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验．
方法总结（表格法）
表格法解分式方程的应用题
例题6、（曲靖）甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？
【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣4）个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率 列出下面表格：
【解后感悟】表格法更适合初学者或者基础不扎实的学生。使用表格法时，首先应该弄清楚题中的公式：工作总量=工作效率×工作时间。按照如图表格填空，最后填的是工作时间，然后根据题目中提供的等量关系（工作时间相等）列出方程。
专题小结
一元一次方程与分式方程均属于中考的必会知识。单独考方程一般是在选择填空题以及解答题的第1、2题，难度系数非常的低。考生在备考时应注意，计算要正确，解答题要详略得当。特别是分式方程，一定要验根。
而一元一次方程以及分式方程的应用题，考查内容无非那几个常见的专题：和差倍分问题、工程问题、行程问题、经济问题、积分问题等基础题型。解决这类题型时一定要注意找准等量关系，一般情况按顺序列方程准确率更高。基础不扎实的同学平时训练时可以先列表格，然后按表格列出方程不失为一种好方法。
易错警示：【解分式方程去分母时，漏乘整式项，忘记验根（应用题也要验根）】
