高中学生
怎样提高解题能力
（新版）
凌吟文编写
提高学生解题能力，是教师、学生、家长的热切期望，但如何提高解题能力，各人有各人的思考，各人有各的招数。
在当前的情境中，多数人持多做题、就能“熟能生巧”的观念。寄希望于通过多做题来理解教材中概念和规律，寄希望于通过多做题来提高解题能力，更寄希望于通过多做题来网住中考、高考题，甚至进行地毯式大面积搜索考题成为当前一种被广泛推行的押题应试方式。成为获取取得中考、高考的高分数的绝招。因此，题海战术汹涌澎湃，泛滥成灾。
题海战术以“熟能生巧”为大旗，毫无选择地布置学生大量作各种教辅书刊（练习册、复习资料）上的练习题和模拟试题。“做一题，会一题，题题决定命运；拼一分，高一分，分分成就终身！”竟成了学校新的励志口号。现在学生太累，负担过重，没时间预习、复习、总结归纳知识，也没有时间参加课外活动、扩大阅读，增长知识与能力，都是由于上课和练习过多。而且以应试与分数为目标的教学和练习也并不能切实提高学生的学习质量，包括提高解题能力。何况从深层次看，“解题能力”与“学习质量”之间并不能划等号！如解题机器不是创造性人才。
能有一条既能脱离题海、减轻过重负担，又能切实提高学生学习质量和解题能力的有效途径吗？
我以为应该切实从以下三方面着手，改进我们的学习：
（一）努力加强教材中概念、规律、方法的学习
解题需要以深入理解的基础知识为前提，虽然多做题也可以帮助理解教材中概念和规律，但这样作需要的题量大，耗时多，效果差，效率低。通常还是先掌握好教材中概念和规律再去做题才能更好、更快地求解，切实提高解题能力。
只有紧抓教科书，紧抓“概念、规律、方法”的学习，才能真正提高学习质量，包括各学科的解题能力。很多同学解题困难、学习掉队，根本原因是没掌握好教科书上相关的概念、规律、方法。一些老师忽视教科书，忽视概念、规律、方法的教学，忽视教科书上例题的教学，只强调从教辅书上多作题，这是舍本逐末。
（1）、关于概念
概念——是对一类事物共性的抽象与概括，常用定义描述。
学习概念要抓住定义中的关键词去逐字逐词、并自后至前、深入理解其确切含意。要明确概念的内涵与外延。
具体说，就是对定义要：
1、弄清定义中有几个关键词，哪几个关键词？
2、对关键词逐个分别了解其深刻含意。
3、将关键词自后至前串起来，深入理解整个定义的确切含意。以明确概念的内涵与外延。
如高中教材中函数的定义是：
函数——两个非空数集A、B，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都要有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。
这里的关键词有：两个非空数集A、B，从A到B有任意对唯一的某种确定的数的对应关系。
从这些关键词中可知，函数是两个非空数集（映射不一定要求是数集）间的某种确定的对应关系，这个对应关系要求元素（数）按一定方向且满足“任意对唯一”的，即函数有方向性，且为“单值函数”。
又如：力的概念
（2）、关于规律
规律——是概念与概念之间的关系。包括定律、定理、原理、公理、公式、法则、定则等。
学习规律要特别注意明确规律的确切含意：包括表述方式、来龙去脉、适用范围及与相关知识的联系与区别。
示例：牛顿第二定律
（3）、关于方法
方法——是运用概念、规律去解决相关问题的桥梁。包括 ① 思维方法 ② 学科方法 ③类型题解证方法。
对于各种方法要注意学习、汇集和归纳。
（4）关于知识的总结归纳
系统复习与总结知识对深入理解、巩固知识很重要，要经常通过对某个阶段已学过的有关知识（概念、规律、方法）进行加工重组、系统归纳，能形成有序的认知结构。
也可采取提纲与表格综合的形式总结归纳知识。
示例：《空间的直线与平面》知识归纳
示例：
抓住教科书的相关概念、规律、方法，就是做好解题的知识准备，这是提高解题能力的前提与基础。
（二）建议掌握“条件集中法”、化归法和“替换分析法”等的解题思维通法
著名美籍匈牙利数学家G.波利亚（1887-1985）在《怎样解题：数学思维的新方法》一书中指出，解题要分熟悉问题、深入理解问题、探索有益的念头、实现计划、回顾共五个步骤。我以为，所有步骤都需要很好的知识准备外，掌握很好的解题思维方法也特别重要。
不同学科（如数学、物理）、不同类型（如圆锥曲线问题、力的平衡问题）的计算、证明问题有各自的个性，要用不同的思路、方法去解。你想过吗，是否也有解题思维的共性，即有相同的思考和分析方法，存在有某种适用各种不同问题的“解题思维通法”？
（1）、关于“条件集中法”
一个问题，总要在特定的情境中给出所求条件和若干已知条件。而解题就是要在这个特定的情境中要通过已知条件求得所求条件。这样就必须拉近已知与所求的距离，在特定的目标区域内，通过相关的关系式去架构已知与所求的桥梁，以获得问题的解决。
我认为，G.波利亚所说的“熟悉问题、深入理解问题”就是要明确在特定的情境中给出所求条件（如待求的所求量或其与某些相关量间的代数或几何关系甚至物理、化学等关系）和若干已知条件（如已知量或某些相关量间已知的代数或几何关系甚至物理、化学等关系）。而“探索有益的念头、实现计划”就是要联系你现有知识，从不同角度去寻找拉近已知与所求的距离的方法，能在特定的目标区域内，通过相关的关系式（如数学解析式、图象、简单的几何图形、物理方程、化学反应方程式）去架构已知与所求的桥梁，以获得问题的解决。
为敢获得“有益的念头、实现计划的方案”，我把上述拉近已知与所求至一个特定的目标区域内以探索问题求解的方法称为“条件集中法”，这是基于我四十多年的多学科教学的经验和上面的认识，我提出的一种解决各学科问题的通用解题思维方法。
对于简单的问题，已知条件与所求条件，本来就集中在是某个特定的目标区域（如特定的等式、不等式或其联立组，特定的图象或简单几何图形）中，只待我们去观察，去发现，去优选，然后在这个特定的目标区域中，运用相应规律（如数学、物理中相关定律、定理、原理、公理、公式、法则、定则的解析式与联立组）或函数图象、几何图形实施求解即可。
复杂的问题，需要先把问题中每个已知与所求条件，以相互拉近为目标，分别通过综合法和分析法思维，运用有关的代数变换或几何变换，使它们各自转换成便于求解的“已知变换所得”和“所求变换所得”，由此推得一些新的相关量，或新的相关量间的代数关系（相等、不等、某种函数关系）和几何关系（点、线、面、体的属于、包含、平行、相交、垂直、等积），并且使它们集中到一特定的目标区域中（可以是题设中的已知条件，题断中的待证关系，特定的数学公式、物理方程，化学方程式，或其它相关的方程（组）、不等式（组），相关的函数图象或简单几何图形），然后实施求解。
对于问题中的已知和所求条件，“要解题必先条件集中，条件不集中不能解题”。
如数学解题中的所有化归、同解变换，物理解题中的所有力、场或运动的等效变换、运动参照系变换无一不是以条件集中为前提、为方向进行的。
（2）关于“化归法”
“化”即变化、化简；“归”即归纳、归类。化归法是将新的、难的、繁的、未知的不可解问题，转化归结为旧的、易的、简的、已知的可解问题来解决。
化归法是使求得问题可解而常用的优化思维方法，常通过各种数学同解变换、物理等效变换等使问题化简。为使问题可解，化归仍要以条件集中为目标
如在解方程或不等式时，通常都是将“无理”转化为“有理”，“分式”转化为“整式”，“高次”转化为“一次或二次”；对于非基本的数列问题，则常转化为基本数列（等差或等比数列）；在三角函数中，任意角的三角函数问题又常常是通过诱导公式转化为锐角三角函数；在立体几何中，常将空间图形的问题通过分解或类比，将它们转化为相应的平面图形问题，通过作辅助线、辅助面和展开等，将空间图形元素的数量关系和位置关系化归为平面图形元素的数量关系和位置关系去研究；在解析几何中，通过建立直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过坐标变换，将非标准形式的曲线方程转化为标准形式的曲线方程等。总之，化归的基本特点就是以已知的、简单的、具体的、特殊的、低维的知识为基础，将未知的化归为已知的，复杂的化归为简单的，抽象的化归为具体的，一般的化归为特殊的，综合的化归为基本的，高维的化归为低维的，数的问题化归为形的问题，实际问题化归为数学问题以及不同数学问题之间的相互转化，所以，树立化归意识，掌握化归方法，对于迅速确定解题途径具有重要意义，也是学好数学所应具备的基本素质。也是掌握其他学科解题的思维方法
化归的要素是：对象、目标、方法。
化归的方向是：新问题变旧问题，困难变容易，复杂变简单，未知变已知，不可（易）解变可（易）解。
化归的基本原则是：熟悉化、简单化、和谐化、直观化、正难则反。
化归的方法主要是变更问题，就是“等效的叙述”。恰当地把问题转化，使“己知的”和“所求的”，也就是使“初始状态”和“目标状态”愈来愈接近，最后使问题可解。
解题之初运用“条件集中法”所得目标区域不是直接可解时，就要联系现有知识，运用“化归法”将目标区域进一步条件集中，使之优化为可解的关系式或图形。即转化归结为旧的、易的、简的、已知的问题。其目标只是进一步条件集中，以优化目标区域，获得可解的方程（组）、不等式（组）或可解的最简几何图形、图象。
故解题一般顺序是：“先条件集中找到目标区域，后化归使问题优化可解。”
附：条件集中法在高中各学科的应用
示例：一立体几何试题的解析
（解析2略）
“条件集中法”能帮助我们寻找解题的方向，为了实现这个方向，如要找到相应目标的数学解析式或简单图形，需要学会“替换分析法”；如要找到相应目标的最简几何图形，常要掌握“添加辅助线法”及其规律等等。
（3）、关于“替换分析法”
“替换分析法”的基本思想是：任何一个问题所涉及的各个量（代数量或几何量）中，总分三类：①已知的（已知量），②未知但为所求的（所求量），③未知但非所求的（不求量）。解题是要从符合问题规定情境（条件）的有关规律（公式、法则）中，运用已知量，化去不求量，求出所求量。在方程或方程组（或不等式、不等式组）或简单几何图形中，超量的不求量必须化去，才能完成已知条件与所求条件的完美集中。化去不求量的方法常是用含已知量、所求量的解析式替换不求量，使原方程（或不等式）以变形。而这种量的替换一直要得到可解方程（组）、可解不等式（组）或可解简单图形为止，则所求未知量可以求出。
运用替换分析法解题的步骤只有两步：
（1）优选一个或几个基本关系式（方程或不等式）或者简单图形：使之满足问题情境，可以是题设或某个相关的概念和规律，且要尽可能含所求量、尽可能多含已知量、尽可能少含不求量。
（2）若基本关系式或简单图形中含不求量，或还不含所求量，则用含已知量、所求量的关系式替换不求量，使原式（方程或不等式）或简单图形进一步优化，直至得到关于所求量的可解方程（组）或可解最简图形为止，则所求量可以求出。
替换分析法其实就是“条件集中法”与“化归”思想的综合应用，是解题思维通法中“先条件集中找到目标区域，后化归使问题优化可解。”的具体运用。其第一步是在进行条件集中，优选最佳的目标区域（一个或几个基本关系式或者简单图形），寻找解题的突破口；第二步这是在进行化归，将目标区域中的不求量化去，获得优化的关于所求量的可解的数学解析式或可解图形，寻找解题的具体途径。
替换分析法可用下述格式表达其解题过程：
示例：一数学问题的证明
示例：高考湖南文科数学第14题的解析
设F1，F2是双曲线C:
(a>0,b>0)的两个焦点。若在C上存在一点P。使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为_________
思路：替换分析法，数形结合法，
解法：由双曲线的定义为目标区域，用相关题设条件化归：
可解得e= c/a =
+1
示例：一物理问题的解析
替换分析法就是通过条件集中与化归，在目标区域中，使不求量被替换，使已知条件与所求条件完美集中，使所求量可解，以寻求解题的具体方法的一种解题分析方法。它的优点是：
①替换分析法通过优选基本关系式，使我们的解题目标更明确，容易找到解题的突破口；
②替换分析法通过对不求量的不断分析替换，以获得关于所求量的可解方程或可解方程组，能使我们的解题思路更清晰，并方便找到简捷的解题具体途径。
（4）关于“添加辅助线法”
“添加辅助线法”的基本思想是：解证几何问题就是要利用已知几何条件求出所求几何量或几何关系。这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几何图形之中。如一个三角形（特别是直角三角形、等腰三角形），一个平行四边形（特别是矩形、菱形、正方形），一个圆，或两个全等三角形，两个相似三角形之中。这种思路实质也是条件集中。
为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件，通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似三角形。以便于运用这些图形的几何关系（性质定理）解题，这就需要添加辅助线。条件集中也是添加辅助线的目标和规律。
示例：三角形中添辅助线的规律
（三）端正练习观念、优化练习过程、总结归纳各类型题解法（1）、关于练习的观念
我们要树立“练为手段，思为核心”的练习观念，不要为练而练，一切要从最大限度促进个人思维能力提高的目标去进行练习活动。
练习活动是以发展心智、特别是提高思维能力为目标的，所以，要突出强调练习的科学性，强调练习的效率，也即要积极提高练习的质量。万不可搞低效高耗的重复性练习。
（2）、关于练习的方法
练习要讲究“精练、巧练”，而不要盲目追求多练，才能减轻学习负担、搞高学习效率。“精练”即选题要精，具典型性，并要一题多解，一题多变，以一当十，以少胜多；“巧练”即解题要巧，纵横联想，思路顺畅，方法巧妙，过程简洁。
要建立自己的《典型题集》。
《典型题集》中收集的习题应具下列特征之一：
①在类型题中具典型性、代表性；
②能一题多解。其中不乏思路巧妙的解法；
③是易错的题。
练习要注意“重过程，学方法，寻规律”。
在练习前一般应复习相关的知识和解题方法，解题中要重视如何寻求解答的过程、在解题后还要进行回味和反思，对解题思路与方法进行总结归纳，找到解题规律。
要切实提高解题能力，G.波利亚说的“回顾”也很重要。在解题后一定要进行回味和反思，不要解完题就罢手。在求得解答甚至一题多解、一题多变之后，仍需要积极的思考：自己在此题解答中是否受挫？原因何在？是如何克服的？本题解答过程中，关键在哪里？运用的解题方法有哪些？这些方法中哪个最简便、更巧妙？一般说来，何种情况下应优选何种方法？要通过比较归类，总结归纳出解题方法及其优选的规律。对解题过程与方法进行总结、归纳和优化，尝试不同或简捷的解法，找到解题规律，并用自己的语言记录下来，收入自己的《解题方法汇编》。
示例：
示例：立体几何问题平面化的规律
示例：圆周运动问题的解题规律：
示例：三角函数式的证明类型题的解证法：
（3）、关于类型题的解法
要加强对解题方法的总结归纳，特别是对各学科中各种类型题的解法，总结归纳类型题的解法，能帮助我们在运作解题思维通法过程中，更快捷地使条件集中于最优的目标区域，从而提高解题效率。
为加强对解题方法的总结归纳，特别是对各学科中各种类型题的解法，通常应要区分一般解法与特殊解法、或代数解法和几何解法进行归纳，每个解法还要总结出选用的条件、解法要点及注意事项，建议能用下面表格记录下来，然后进行记忆。
XX类型题的解法归纳
XX类型题的解法归纳
也可如以下示例用纲要的形式归纳：
示例：《物体平衡》类型题的解证方法
示例：《匀变速运动》类型题的解法
为提高解题能力，我们应在掌握“解题思维通法”的基础上，熟悉类型题的各种解法，平时就要做好“一题多解”
在类型题解法中，一般解法能普遍使用，但不一定简便。特殊解法需要满足一定的选用条件，但简捷而巧妙的解法往往存在于特殊解法之中。
代数解法为我们熟知，常普遍使用，但几何解法（如函数图象法、向量图解法）常有直观、简捷、巧妙的特点，
所以，我认为，解法优选的原则应是：
“先特殊、后一般”，“先几何、后代数”。
在掌握类型题解法的基础上，练习要尽力“一题多解”、“一题多变”。
不要满足于一题一解，要尽可能寻求同一问题的多种解题方法。并且要比较不同方法，剖析各种解法的特点，看哪种解法更简捷、更巧妙。甚至进行一题多变，探讨不同情况下的不同解法。从中学分析、学推理、学方法。要知道：十个题每题一解不如一个题用一题多解对思维发展有益！
突出重点，深入掌握了教材相关的“概念、规律、方法”，又学会思考，把握了解题的“亠般思维规律”、“解题思维通法”和“类型题的解题方法”，再经过平时的“精练、巧练”，“一题多解”、“一题多变”的训练，并坚持解题后的回顾、反思。这样，你不仅能从繁重的学习负担中解放出来，而且建立在有优秀学习质量基础上的解题能力，“不提高都难”。
