在求图形面积的方法中，最简单的莫不过规则图形，直接用面积公式，例如三角形、平行四边形、梯形、圆等；稍复杂一点的用割补法化为规则图形，例如三角形、四边形、多边形、扇形、弓形等；放到坐标系中，割补法用途更是广泛，基本上，任何坐标系中的三角形，无论位置如何，均可采用割补法求出其面积。但是，凡事也有例外，并非所有的三角形面积割补都那么顺利。
题目
已知：平面直角坐标系中，A(a,3)，B(b,6)，C(c,1)，a,b,c都为实数，并且满足3b-5c=-2a-18，4b-c=3a+10.
(1)请直接用含a的代数式表示b和c；
(2)当实数a变化时，判断△ABC的面积是否发生改变？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；
(3)当实数a变化时，若线段AB与y轴相交，线段OB与线段AC交于点P，且△PAB与△PBC面积相等，求实数a的取值范围。
解析：
(1)解一个含参数a的二元一次方程组，得b=a+4，c=a+6；
(2)其实我觉得只要认真理解了题目中各点的坐标含义，此问不难回答，A，B，C三个点的纵坐标均为定值，所不同的只有横坐标，而在第1小题中，我们发现点B和点C分别在A右边4个单位 和6个单位，即它们横坐标的差是相同的，这意味着整个△ABC随a的变化沿x轴方向平移，面积当然不变，下面我们用含a的代数式来表示△ABC面积，看是否确实不变，如下图：
根据刚才对坐标的分析，我们分别过点B作x轴的平行线，过点A和C作y轴的平行线，这样将△ABC补成一个梯形ACED，于是它的面积可用梯形ACED减去△ADB和△BCE，而图中的AD=3，BD=4，BE=2，CE=5，因此梯形面积为(3+5)×6÷2=24，△ADB面积为3×4÷2=6，△BCE面积为2×5÷2=5，所以△ABC面积为13；
(3)是否可以继续使用割补法来表示△ABP和△BCP的面积呢？许多学生在考试中尝试过不行，因为割补法要想成功，各顶点坐标要知道，图中点P坐标未知，因此与P有关的线段长度不可得，于是割补法失败，就此陷入困境。
虽然第一次尝试失败，但我们如果找到失败的根源，是有可能寻找到新的方法的。点P坐标未知，所以△ABP和△BCP无法割补，那能否得到这两个三角形面积的哪些结论呢？通过观察我们发现它们共边，即BP，以它为两个三角形的公共底，则可得它们的高的大小关系，不妨设△ABP中BP边上高为m，而△BCP中BP边上高为n，由题目条件可知m>n，BP所在直线为OB，这说明以OB为公共底的两个三角形面积大小也是已知的，因此连接AO和CO，如下图：
在m>n的条件下，我们可判断△AOB的面积比△BOC的面积大，而这两个三角形的三个顶点是已知的，因此它们可用割补法表示，同样按上一小题的方法割补，△AOB可看作四边形AOBD减去△ADB，而四边形AOBD又由梯形AOFD和△BOF构成，于是根据点的坐标，得△AOB的面积是(3+6)×(-a)÷2+6(a+4)÷2-6=6-1.5a，△BOC可看作梯形OCEF减去△BCF和△BOF，得△BOC的面积是(6+5)×(a+6)÷2-6(a+4)÷2-5=2.5a+16，现在可列不等式了，6-1.5a>2.5a+16，解得a<-2.5；
注意到变化过程中，须保证线段AB与y轴有交点，即点A在y轴左侧，而点B在y轴右侧，即a≤0且a+4≥0，解得-4≤a≤0；
综上所述，a的取值范围是-4≤a<-2.5.
解题反思
在讲完这道题目后，及时给学生进行归纳总结，是必不可少的步骤，究竟什么类型的问题可用割补法呢？常规面积公式不好求，且各顶点坐标已知(包含用字母表示)。本题设置的难点恰恰是点P坐标未知，因此不少学生在考完后也坦言，在表示△ABP和△BCP面积时耗费大量时间。既然点P坐标未知，那总有已知的吧！于是，点O便作为突破口，连接OA和OC后，问题转化成曾解决的割补法。
割补法在本题中还有别的方式，向y轴作垂线也行，过程类似，难度相当，不再赘述。对于七年级学生来讲，此题有一定难度，如何让学生在这节课后遇到同类问题依然有法可想，是考验学生反思能力的时候，也考验老师引导学生反思的能力。解题和讲题，通常是数学复习课中最常见的课堂环节，而要高效完成它，不能挤占学生的思考时间，每道题讲完，要留有一定时间给学生思考，刚刚开始不会反思，老师的作用就凸显了，教会学生反思，自己得先学会反思。
