临界状态的情况贯穿在物理各个方面的习题中，学会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题，最重要的是要会分析判断临界时的速度和受力特征。
基础知识：在竖直平面内作圆周运动的临界问题的三种模型
1、如图所示，小球在绳或轨道内圈竖直平面作圆周运动通过最高点的情况（绳或者轨道内圈只能对小球产生向下的拉力或者压力）
（1）临界受力的条件：绳子或轨道对小球没有力的作用
（2）能过最高点速度的条件：v≥√（Rg），
当v临界＝√（Rg）时，绳对球拉力为0，轨道对球力为0。
当v＞√（Rg）时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。
（3）不能过最高点的速度条件：v＜v临界（实际上球没到圆周轨道最高点时就脱离了轨道，掉下来了）。
2、如图所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳力的情况不同，杆既能产生拉力，也能产生压力
（1）能过最高点v临界＝0，此时支持力N＝mg
（2）当0＜v＜√（Rg）时，N为支持力，有0＜N＜mg，且N随v的增大而减小
（3）当v＝√（Rg）时，N＝0
（4）当v＞√（Rg），N为拉力，有N＞0，N随v的增大而增大
例题、过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R₁=2.0m,R₂=1.4m。一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以V。=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L₁=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s²，计算结果保留小数点后一位数字。试求
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R₃应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离。
解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1
根据动能定理
-μmgL₁-2mgR₁=（1/2）mv₁²-（1/2）mv。² ①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，
根据牛顿第二定律
F+mg=m（V₁²/R₁） ②
由①②得
F=10.0N ③
轨道对小球的作用力F的方向是竖直向下的
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，
由题意: 小球恰能通过第二圆形轨道（临界状态），
轨道对小球的作用力F为零
mg=m（V₂²/R₂） ④
又根据动能定理，
-μmg（L₁+L）-2mgR₂=（1/2）mv₂²-（1/2）mv。² ⑤
由④⑤得
L=12.5m ⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道（临界状态），
轨道对小球的作用力F为零
设在最高点的速度为v3，应满足
mg=m（V₃²/R₃） ⑦
又根据动能定理，
-μmg（L₁+2L）-2mgR₃=（1/2）mv₃²-（1/2）mv。² ⑧
由⑥⑦⑧得
R₃=0.4m
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理
-μmg（L₁+2L）-mgR₃=0-（1/2）mv。²
解得 R₃=1.0m
此时小球已经不能上到轨道的最高点，这个轨道是半径较大中的最小值情况，此时小球上升的临界状态是：刚好上升到和圆心同样的高度（运动1/4圆周）时（小球不脱离轨道），速度减小为0，然后又沿着原路返回。
小球运动的轨道半径还可以再大，这时运动的最大高度不变，但运动的圆周会比1/4圆周小。
为了保证圆轨道不重叠，如图所示，
R3最大值（轨道的临界情况）应满足（直角三角形O₃O₂F）
（R₂+R₃）²=L²+（R₃-R₂）²
解得 R3=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
在轨道半径较小的时候，小球可以通过最高点，第三个圆轨道的半径满足下面的条件：
0＜R₃≤0.4m
当轨道半径较大的时候，小球通不过轨道最高点，沿着轨道运动到达最高点时（不是轨道的最高），速度为0，然后沿轨道原路返回， 这时第三个圆轨道的半径满足下面的条件：
1.0m≤R₃≤27.9m
当0＜R₃≤0.4m 时，
小球通过轨道最高点，小球最终停留点E与起始点A的距离为L′，其位置在D点的右侧，则
对起点A到终点静止，整个过程用动能定理，
-μmgL′=0-（1/2）mv。²
L′=36.0m
即：停留在D点右侧L＇-（L ₁+2L）=5m E点处
当 1.0m≤R₃≤27.9m 时，
小球通不过轨道最高点，沿着轨道运动到达运动最高点时，速度为0，然后沿轨道原路返回，小球最终停留点应该在D点的左侧E处，
由前一问可知，小球可以在水平面上运动的距离是5米，
沿轨道原路返回向左运动，
所以，小球最终停留点在D点的左侧5米处，
∴小球最终停留点E与起始点A的距离为L〞，则
L〞=（L ₁+2L）-5=26m
小结：例题是三个圆周运动相连接，其中会用到动能定理的关系式，最主要的是有几个临界状态：物体通过圆周轨道最高点的临界状态；不能上到最高点的临界状态；轨道最大的临界状态（圆形轨道间不相互重叠）；小球不能脱离轨道；物体左右运动方向改变；运动情况的多样性的等状况。要求对圆周运动非常熟悉，还要有丰富空间的想象力，并且能画出运动图做辅助分析。
