本文转载自:SIGAI
本文列出的数学知识点已经写成了《机器学习的数学教程》,以后有机会的话可能会出版,以帮助大家学习。
所需的数学知识
在之前的公众号文章中已经说过,机器学习和深度学习中所用的数学知识主要来自以下几门课:
1.高等数学/微积分
2.线性代数与矩阵论
3.概率论与信息论
4.最优化方法
5.图论/离散数学
除此之外,有些理论和方法可能会用到更深的数学知识,如实变函数,泛函分析,微分几何,偏微分方程等,但对一般的方法和理论,这些知识不是必须的,因此我们可以忽略它们。对大多数人来说,没必要为了那些不常见的方法和理论而去学这些复杂的数学知识,这会大幅度的增加学习的成本与难度。
前面所列的5门数学知识中,矩阵论,信息论,最优化方法是国内理工科本科生基本上没有学过的。图论除了计算机类的专业之外,一般也不会学。如果想全面而系统的学好机器学习与深度学习,补上这些数学知识是必须的。
微积分
微积分是现代数学的基础,线性代数,矩阵论,概率论,信息论,最优化方法等数学课程都需要用到微积分的知识。单就机器学习和深度学习来说,更多用到的是微分。积分基本上只在概率论中被使用,概率密度函数,分布函数等概念和计算都要借助于积分来定义或计算。
几乎所有的机器学习算法在训练或者预测时都是求解最优化问题,因此需要依赖于微积分来求解函数的极值,而模型中某些函数的选取,也有数学性质上的考量。对于机器学习而言,微积分的主要作用是:
1.求解函数的极值
2.分析函数的性质
下面列出机器学习和深度学习中所需的微积分知识点,显然,不是课本里所讲的所有内容都是需要的,我们只列出所必须的。
极限。极限是高等数学和初等数学的分水岭,也是微积分这座大厦的基石,是导数、微分、积分等概念的基础。虽然在机器学习里不直接用到极限的知识,但要理解导数和积分,它是必须的。
上确界与下确界。这一对概念对工科的微积分来说是陌生的,但在机器学习中会经常用到,不要看到论文或书里的sup和inf不知道什么意思。
导数。其重要性众所周知,求函数的极值需要它,分析函数的性质需要它。典型的如梯度下降法的推导,logistic函数导数的计算。熟练地计算函数的导数是基本功。
Lipschitz连续性。这一概念在工科教材中同样没有提及,但对分析算法的性质却很有用,在GAN,深度学习算法的稳定性、泛化性能分析中都有用武之地。
导数与函数的单调性。某些算法的推导,如神经网络的激活函数,AdaBoost算法,都需要研究函数的单调性。
导数与函数的极值。这个在机器学习中处于中心地位,大部分优化问题都是连续优化问题,因此可以通过求导数为0的点而求函数的极值,以实现最小化损失函数,最大化似然函数等目标。
导数与函数的凹凸性。在凸优化,Jensen不等式的证明中都有它的应用。
泰勒公式。又一个核心知识点。在优化算法中广泛使用,从梯度下降法,牛顿法,拟牛顿法,到AdaBoost算法,梯度提升算法,XGBoost的推导都离不开它。
不定积分。积分在机器学习中使用的相对较少,主要用于概率的计算中,它是定积分的基础。
定积分。包括广义积分,被用于概率论的计算中。机器学习中很大一类算法是概率型算法,如贝叶斯分类器,概率图模型,变分推断等。这些地方都涉及到对概率密度函数进行积分。
变上限积分。分布函数是典型的变上线积分函数,同样主要用于概率计算中。
牛顿-莱布尼兹公式。在机器学习中很少直接使用,但它是微积分中最重要的公式之一,为定积分的计算提供了依据。
常微分方程。在某些论文中会使用,但一般算法用不到。
偏导数。重要性不用多说,机器学习里绝大部分函数都是多元函数,要求其极值,偏导数是绕不开的。
梯度。决定了多元函数的单调性和极值,梯度下降法的推导离不开它。几乎所有连续优化算法都需要计算函数的梯度值,且以寻找梯度为0的点作为目标。
高阶偏导数。确定函数的极值离不开它,光有梯度值还无法确定函数的极值。
链式法则。同样使用广泛,各种神经网络的反向传播算法都依赖于链式法则。
Hessian矩阵。决定了函数的极值和凹凸性,对使用工科教材的同学可能是陌生的。
多元函数的极值判别法则。虽然不直接使用,但对理解最优化方法至关重要。
多元函数的凹凸性判别法则。证明一个问题是凸优化问题是离不开它的。
Jacobian矩阵。工科教材一般没有介绍这一概念,但和Hessian矩阵一样,并不难理解,使用它可以简化多元复合函数的求导公式,在反向传播算法中广泛使用。
向量与矩阵求导。常见的一次函数,二次函数的梯度,Hessian矩阵的计算公式要烂熟于心,推导并不复杂。
泰勒公式。理解梯度下降法,牛顿法的优化算法的基石。
多重积分。主要用于概率论中,计算随机向量的积分,如正态分布。
偏微分方程。在某些理论推导中可能会使用,如变分法中的欧拉-拉格朗日方程。
参考书目:
微积分用经典的同济7版就可以了,这是国内很多高校工科专业的微积分教材。如果想深入学习,可以看数学分析的教材,这是数学系的微积分。北大张筑生先生所著的数学分析可谓是国内这方面教材的精品。
线性代数与矩阵论
相对于微积分,线性代数似乎用的更多,而且有一部分属于矩阵论/矩阵分析的范畴,超出了工科线性代数教材的范围。下面列出线性代数和矩阵论的常用知识点。
向量及其运算。机器学习算法的输入很多时候是向量,如样本的特征向量。因此熟练掌握向量以及常用的运算是理解机器学习的基础。
矩阵及其运算。与向量一样,是线性代数的核心概念,各种运算,常用矩阵,必须烂熟于心。
行列式。直接使用的少,在概率论,某些模型的推导中偶尔使用。
线性方程组。直接使用的少,但这是线性代数的核心内容。
特征值与特征向量。在机器学习中被广泛使用,很多问题最后归结于求解矩阵的特征值和特征向量。如流形学习,谱聚类,线性判别分析,主成分分析等。
广义特征值。工科线性代数教材一般不提及此概念,但在流形学习,谱聚类等算法中经常用到它。
Rayleigh商。工科教材一般不提及它。在某些算法的推导过程中会用到,如线性判别分析。
矩阵的谱范数与条件数。工科教材一般不提及它。在某些算法的分析中会用到它,它刻画了矩阵的重要性质。
二次型。很多目标函数是二次函数,因此二次型的地位不言而喻。
Cholesky分解。某些算法的推导中会用到它,工科教材一般不提及它。
特征值分解。对机器学习非常重要,很多问题最后归结于特征值分解,如主成分分析,线性判别分析等。
奇异值分解。在机器学习中广泛使用,从正态贝叶斯分类器,到主题模型等,都有它的影子。
参考书目:
线性代数可以看矩阵分析,如果想更全面系统的学习,可以看斯蒂文的这本线性代数。
概率论与信息论
概率论与信息论在机器学习中用得非常多。概率论的知识,一般不超出工科教材的范畴。而信息论是很多同学没有学过的,不过只要你理解了微积分和概率论,理解这些概念并不是难事。下面列出常用的概率论与信息论知识点。
随机事件与概率。这是理解随机变量的基础,也是概率论中最基本的知识。
条件概率与独立性。条件概率非常重要,在机器学习中,只要有概率模型的地方,通常离不开它。独立性在很多地方也被使用,如概率论图模型。
条件独立。在概率论图模型中广泛使用,一定要理解它。
全概率公式。基础公式,地位不用多说。
贝叶斯公式。在机器学习的概率型算法中处于灵魂地位,几乎所有生成模型都要用到它。
离散型随机变量与连续型随机变量。重要性不用多说,概率质量函数,概率密度函数,分布函数,一定要熟练掌握。
数学期望。非常重要,好多地方都有它的影子。
方差与标准差。非常重要,刻画概率分布的重要指标。
Jensen不等式。在很多推导和证明中都要用它,如EM算法,变分推断。
常用的概率分布,包括均匀分布,正态分布,伯努利分布,二项分布,多项分布,t分布等,在各种机器学习算法中广泛使用。
随机向量。多元的随机变量,在实际中更有用。
协方差。经常使用的一个概念,如主成分分析,多元正态分布中。
参数估计。包括最大似然估计,最大后验概率估计,贝叶斯估计,核密度估计,一定要弄清楚它们是怎么回事。
随机算法,包括采样算法,遗传算法,蒙特卡洛算法,在机器学习中也经常使用。
信息论中的一些概念,包括熵,交叉熵,KL散度,JS散度,互信息,信息增益,一定要深刻理解这些概念。如果你不理解KL散度,那怎么理解变分推断和VAE?
参考书目:
概率论国内理工科专业使用最多的是浙大版的教材:
《概率论与数理统计》,国外的书籍推荐《信息论基础》
最优化方法
前面已经说过,最优化方法是机器学习的灵魂,用于确定模型的参数或预测结果。不幸的是,工科专业一般没有学过这门课。不过只要你理解了微积分和线性代数,并不难推导出这些算法。下面列出常用的最优化方法知识点:
梯度下降法。最简单的优化算法,但却很有用,尤其在深度学习中。
随机梯度下降法。在深度学习中的重要性妇孺皆知。
最速下降法。梯度下降法的改进型,是理解梯度提升等算法的基础。
梯度下降法的改进型。如AdaGrad,AdaDelta,Adam等,使用深度学习开源库的时候经常会看到这些名字。
牛顿法。二阶优化算法的典型代表,只是在深度学习中用的少。在logistic回归等算法的训练中会用到它。
拟牛顿法。牛顿法的改进,在条件随机场等模型的训练中会用到L-BFGS等算法。
坐标下降法。在logistic回归等模型的训练中会用到它,不难理解。
凸优化。最优化中的核心概念之一,如果一个问题被证明为凸优化问题,恭喜你,它基本上可以较好的解决。
拉格朗日乘数法。在各种算分的推导中经常使用,如主成分分析,线性判别分析等,如果不熟练掌握它,你将非常艰难。
KKT条件。拉格朗日乘数法扩展到带不等式约束后的版本,在SVM的推导中将会使用。
拉格朗日对偶。不太好理解的知识点,在SVM的推导中经常用到,不过套公式并不难。
多目标优化。一般很少使用,在多目标NAS中会使用它,如帕累托最优等概念。
变分法。用于求解泛函的极值,在某些理论推导中会用到它,如通过变分法可以证明在均值和方差一定的情况下,正态分布的熵最大。变分推断中也会用到此概念。如果熟练的掌握了微积分,推导出欧拉-拉格朗日方程并不困难。
参考书目:
最优化方法可以参考下面两本经典教材:
图论
机器学习中的某些问题可以用图论的方法解决,如流形学习,谱聚类。某些算法的表达也可能用到图论的知识,如深度学习中的计算图,NAS中的网络拓扑结构图。概率图模型让很多初学者谈虎色变,它是图论与概率论的完美结合。下面介绍常用的图论知识点。
图的基本概念,如顶点,边,有向图,无向图等。
邻接矩阵与加权度矩阵,图论中的核心概念,边一般都带有权重的。
某些特殊的图,如二部图,有向无环图等,在深度学习中经常会用到他们。
最短路径问题。经典的Dijkstra算法是每个程序员必须掌握的。
拉普拉斯矩阵和归一化拉普拉斯矩阵。比较难理解的概念,机器学习中的很多算法,如流形学习,使用图论的半监督学习,谱聚类都离不开它。理解这个矩阵和它的性质,是理解这些算法的基础。
参考书目: