问题补充:
解答题已知数列{an}中,a2=a+2(a为常数),Sn为{an}的前n项和,且Sn是nan与na的等差中项.
(Ⅰ)求a1,a3并归纳出an(不用证明);
(Ⅱ)若bn=3n且a=2,求数列{an?bn}的前n项和Tn.
答案:
解:(1)a1=a,a3=a+4,解:(1)由已知得 ,
当n=1时,
S1=a1则2a1=a1+a,
得a1=a.
当n=3时,S3=a1+a2+a3
则2(a1+a2+a3)=3(a3+a)
∴a3=a+4
由此可以归纳得:an=a+2(n-1)
(2)由(Ⅱ)可知an=a+2(n-1)=2n,bn=3n;an?bn=2n3n;
Tn=2?3+4?32+8?33+…+(2n-2)?3n-1+2n?3n.①
2Tn=2?22+4?23+…+4(n-1)?2n+4n?3n+1.②
②-①得 ,
所以数列{an?bn}的前n项和为解析分析:(1)由Sn是nan与na的等差中项.我们可能得到Sn、nan与na的关系式,从n=1依次代入整数值,再结合a2=a+2(a为常数),不难给出a1,a3;(2)通过(1)可知an的表达式,若bn=3n且a=2,发现数列{an?bn}的通项是等差和等比的对应项相乘而得,因此可以用错位相减法来求出Tn前n项和的表达式,点评:本题考查的知识点是数列的求和以及归纳推理的常用法,属于中档题.在归纳中要注意项和序号之间的对应关系,用错位相减法求数列的和时要看准项的正负,不要把符号弄错.