问题补充:
解答题已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).
(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=x2-2x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.
答案:
解:(Ⅰ)由已知,则f(1)=2+1=3.
故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3;
(Ⅱ).
①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f(x)>0
所以,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a<0时,由f(x)=0,得.
在区间上,f(x)>0,在区间上f(x)<0,
所以,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为;
(Ⅲ)由已知,转化为f(x)max<g(x)max,
因为g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[0,1],
所以g(x)max=2…(9分)
由(Ⅱ)知,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故不符合题意.
当a<0时,f(x)在(0,-)上单调递增,在(-,+∞)上单调递减,
故f(x)的极大值即为最大值,f(-)=-1+ln(-)=-1-ln(-a),
所以2>-1-ln(-a),解得a<-.解析分析:(Ⅰ)把a的值代入f(x)中,求出f(x)的导函数,把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率;(Ⅱ)求出f(x)的导函数,分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负,进而得到函数的单调区间;(Ⅲ)对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),等价于f(x)max<g(x)max,分别求出相应的最大值,即可求得实数a的取值范围.点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调性,掌握不等式恒成立时所满足的条件,是一道中档题.