问题补充:
解答题在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又侧棱PA⊥底面ABCD.
(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?试证明你的结论.
(2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PM⊥DM.
(3)若在BC边上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围.
答案:
(1)解:当a=2时,ABCD为正方形,则BD⊥AC.
又∵PA⊥底面ABCD,BD?平面ABCD,
∴BD⊥PA.∴BD⊥平面PAC.
故当a=2时,BD⊥平面PAC.
(2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N,连接AM、DM、MN.
∵ABMN和DCMN都是正方形,
∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,即DM⊥AM.
又PA⊥底面ABCD,由三垂线定理得,PM⊥DM,故当a=4时,BC边的中点M使PM⊥DM.
(3)解:设M是BC边上符合题设的点M,
∵PA⊥底面ABCD,∴DM⊥AM.
因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点,则AD≥2AB,即a≥4为所求.解析分析:(1)BD⊥PA,BD⊥AC?BD⊥平面PAC
(2)当a=4,取BC边的中点M,DM⊥AM?PM⊥DM
(3)PA⊥底面ABCD?DM⊥AM?M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点,可求a
点评:本题是一道综合性题,在面面垂直与线面垂直,线线垂直之间来回互用,而这也是立体几何证明题的常见题型.