问题补充:
解答题已知f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对于任意的x,y∈R都满足f(x)?f(y)=f(x+y).
(1)求f(0)的值,并证明对任意的x∈R,有f(x)>0;
(2)设当x<0时,都有f(x)>f(0),证明:f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
答案:
解:(1)可得f(0)?f(0)=f(0)?
∵f(0)≠0?
∴f(0)=1
又对于任意又,∴f(x)>0
(2)设x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1]
∵x1-x2<0?
∴f(x1-x2)>f(0)=1?
∴f(x1-x2)-1>0
对f(x2)>0?
∴f(x2)f[(x1-x2)-1]>0
∴f(x1)>f(x2)故f(x)在R上是减函数解析分析:(1)令x=y=0,代入f(x)?f(y)=f(x+y)即可得到f(0)的方程,解之即可求得f(0),再有x=+,即可证得对任意的x∈R,有f(x)>0;(2)设x1,x2∈R且x1<x2,利用定义法作差,整理后即可证得差的符号,进而由定义得出函数的单调性.点评:本题考点是抽象函数及其应用,考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形证明函数单调性的能力.