问题补充:
解答题已知数列{an}的首项a1=2,其前n项和为Sn,当n≥2时,满足an-2n=Sn-1,又bn=,
(I)证明:数列{bn}是等差数列;
(II)求数列{Sn}的前n项和Tn.
答案:
解:(I)由题意知得,a1=2,a2-22=S1=a1=2,∴a2=6.
n≥2时,an-2n=Sn-1,an+1-2n+1=Sn,
两式相减得 an+1-an-2n=an
即 an+1=2an+2n? (n≥2)
于是
即 bn+1-bn=?? n≥2
又b1==1,=,b2-b1=,
所以数列{bn}是首项为1,公差为0.5的等差数列.
(II)由(I)知,,
an=bn2n=(n+1)2n-1,
又n≥2时an-2n=Sn-1,Sn-1=(n-1)2n-1,
∴Sn=n?2n
∴Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,…①
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1…②
②-①可得
Tn=2n+1-2-n×2n=(n-1)2n+1+2.解析分析:(I)求出数列的前两项,通过an-2n=Sn-1,求出an+1,an的关系,转化为数列{bn}相邻两项的关系,即可证明数列{bn}是等差数列;(II)通过(I),求出数列{bn},{an}的通项公式,确定数列{Sn}的通项公式,利用错位相减法求出数列{Sn}前n项和Tn.点评:本题是中档题,考查递推关系式求解数列的通项公式,判断数列是等差数列,数列前n项和的求法,错位相减法的应用,常考题型.