问题补充:
解答题已知函数f(x)=ax-lnx(a>.
(I)求证f(x)≥1+lna;
(II)若对任意的,总存在唯一的(e为自然对数的底数),使得g(x1)=f(x2),求实数a的取值范围.
答案:
(I)证明:求导数可得f′(x)=a-(x>0)
令f′(x)>0,可得x>,令f′(x)<0,可得0<x<
∴x=时,函数取得最小值
∴f(x)≥f=1+lna;
(II)解:g′(x)=>0,∴函数g(x),当时,函数为增函数,∴g(x)∈[,2]
当时,函数f(x)在上单调减,∴f(x)∈[,ae-1]
∴,无解;
当时,函数f(x)在上单调减,在上单调增,f=1+lna≤,∴a≤,∴<a≤
当时,函数f(x)在上单调增,∴f(x)∈[,ae-1],∴,无解
综上知,<a≤.解析分析:(I)求导数,由导数的正负取得函数的单调性,从而可得函数的最值,即可证明结论;(II)首先确定g(x)∈[,2],再分类讨论确定函数f(x)的值域,利用对任意的,总存在唯一的(e为自然对数的底数),使得g(x1)=f(x2),建立不等式,即可求实数a的取值范围.点评:本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值,函数解析式的求解及常用方法,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.