解答题已知函数f（x）=ax-lnx（a＞．（I）求证f（x）≥1+lna；（II）若

问题补充：

解答题已知函数f（x）=ax-lnx（a＞．

（I）求证f（x）≥1+lna；

（II）若对任意的，总存在唯一的（e为自然对数的底数），使得g（x1）=f（x2），求实数a的取值范围．

答案：

（I）证明：求导数可得f′（x）=a-（x＞0）

令f′（x）＞0，可得x＞，令f′（x）＜0，可得0＜x＜

∴x=时，函数取得最小值

∴f（x）≥f=1+lna；

（II）解：g′（x）=＞0，∴函数g（x），当时，函数为增函数，∴g（x）∈[，2]

当时，函数f（x）在上单调减，∴f（x）∈[，ae-1]

∴，无解；

当时，函数f（x）在上单调减，在上单调增，f=1+lna≤，∴a≤，∴＜a≤

当时，函数f（x）在上单调增，∴f（x）∈[，ae-1]，∴，无解

综上知，＜a≤．解析分析：（I）求导数，由导数的正负取得函数的单调性，从而可得函数的最值，即可证明结论；（II）首先确定g（x）∈[，2]，再分类讨论确定函数f（x）的值域，利用对任意的，总存在唯一的（e为自然对数的底数），使得g（x1）=f（x2），建立不等式，即可求实数a的取值范围．点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．