问题补充:
解答题已知椭圆C1的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为e=,点P为椭圆上一动点,点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,且△PF1F2面积的最大值为.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆短轴的上端点为A,点M为动点,且||2,?,?成等差数列,求动点M的轨迹C2的方程.
答案:
解:(1)设椭圆C1的方程为+=1(a>b>0),c=,则=,所以a=2b、
由椭圆的几何性质知,当点P为椭圆的短轴端点时,
△PF1F2的面积最大,故|F1F2|b=bc=,
解得a=2,b=1.
故所求椭圆方程为+y2=1.
(2)由(1)知A(0,1),F1(-,0),F2(,0),
设M(x,y),则=(-,1),=(x-,y),=(x,y-1),=(-,-1).
由已知条件得x(x-)+y(y-1)=-x-y,整理,得M的轨迹C2的方程为x2+y2=.解析分析:(1)设出椭圆的方程,利用离心率和a,b与c的关系求得a和b的关系,根据椭圆的几何性质知,当点P为椭圆的短轴端点时,△PF1F2的面积最大,进而求得bc的关系,最后联立求得a和b,则椭圆的方程可得.(2)根据(1)中的方程求得A和两焦点坐标,设出M的坐标,利用,,,根据已知条件求得x和y的关系,点M的轨迹方程可得.点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了基础知识的整体把握和综合运用.