问题补充:
已知f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,
(1)当a=b=时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的单调区间;
(2)若b=2且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围.
答案:
解:(1)当 时,
则 ,
∵h(x)的定义域为(0,+∞),令h(x)=0,得x=1
∴当0<x<1时,h(x)>0,h(x)在(0,1)上是单调递增;
当x>1时,h(x)<0,h(x)在(1,+∞)上是单调递减;
所以,函数h(x)=f(x)-g(x)的单调递增区间为(0,1);单调递减区间为(1,+∞).
(2)b=2时,
则
因为函数h(x)存在单调递减区间,
所以h′(x)<0有解.
即当x>0时,则ax2+2x-1>0在(0,+∞)上有解.
①当a=0时,y=2x-1为单调递增的一次函数,y=2x-1>0在(0,+∞)总有解.
②当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,y=ax2+2x-1>0在(0,+∞)总有解.
③当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,而y=ax2+2x-1>0在(0,+∞)总有解,
则△=4+4a>0,且方程y=ax2+2x-1=0至少有一个正根,
此时,-1<a<0
综上所述,a的取值范围为(-1,+∞)
解析分析:(1)将a、b的值代入,可得 ,求出其导数,再在区间(0,∞)上讨论导数的正负,可以得出函数h(x)单调区间;(2)先求函数h(x)的解析式,因为函数h(x)存在单调递减区间,所以不等式h(x)<0有解,通过讨论a的正负,得出h′(x)<0有解,即可得出a的取值范围.
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义,函数与方程的讨论等,属于难题.
已知f(x)=lnx g(x)=ax2+bx (1)当a=b=时 求函数h(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)若b=2且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递