已知函数的定义域为[m n] 且1≤m＜n≤2．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：

问题补充：

已知函数的定义域为[m，n]，且1≤m＜n≤2．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）证明：对任意x1、x2∈[m，n]，不等式|f（x1）-f（x2）|＜1．

答案：

解：（1）

=，

∴

=

=，

∵1≤m≤x＜n≤2，

∴，

x2-mx+mn=x（x-m）+mn＞0，

x+，

令f′（x）=0，得x=，

当x∈时，f′（x）＞0，

当时，f′（x）＜0．

∴f（x）在[m，]内，单调递减；

在[]内，单调递增．

（2）由（1）知，f（x）在[m，n]上的最小值为f=2，

最大值为f（m）=，

对任意x1，x2∈[m，n]，

|f（x1）-f（x2）|≤

=，

令，h（μ）=μ4-4μ2+4μ-1，

∵1≤m＜n≤2，

∴，

即，

∵h（μ）=4μ3-8μ+4

=＞0，

∴h（μ）在（1，）上是增函数，

∴h（μ）=4-8+4

=＜1，

∴对任意x1、x2∈[m，n]，不等式|f（x1）-f（x2）|＜1．

解析分析：（1）由=，1≤m≤x＜n≤2，知，x2-mx+mn=x（x-m）+mn＞0，x+，令f′（x）=0，得x=，由此能求出函数f（x）的单调性．（2）由（1）知，f（x）在[m，n]上的最小值为f=2，最大值为f（m）=，对任意x1，x2∈[m，n]，|f（x1）-f（x2）|≤=，由此能够证明对任意x1、x2∈[m，n]，不等式|f（x1）-f（x2）|＜1．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

已知函数的定义域为[m n] 且1≤m＜n≤2．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：对任意x1 x2∈[m n] 不等式|f（x1）-f（x2）|＜1．