问题补充:
已知如图,抛物线y=ax2+bx-a的图象与x轴交于A、B两点,点A在点B的左边,顶点坐标为C(0,-4),直线x=m(m>1)与x轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线x=m(m>1)上有一点P(点P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求P点坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,试问:抛物线y=ax2+bx-a是否存在一点Q,使得四边形ABPQ为平行四边形?如果存在这样的点Q,请求出m的值;如果不存在,请简要说明理由.
答案:
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-a的顶点坐标为C(0,-4),
∴b=0,a=4;
∴抛物线的解析式为y=4x2-4.
(2)设P(m,n),由4x2-4=0,
∴x=±1,
∴A(-1,0),B(1,0);
∵△OBC∽△PBD,
若∠OCB=∠PBD,则,
∴,
∴,
此时;
若∠OCB=∠BPD,则,
∴;
∴n=4(m-1),
此时P(m,4(m-1)).
(3)假设抛物线存在点Q(x,y)使四边形ABPQ为平行四边形,
当P(m,4m-4)时,AP的中点R的坐标为:R,
又∵R又是BQ的中点,
∴,Q(m-2,4(m-1));
∵Q在抛物线上,
∴4(m-1)=4(m-2)2-4,
∴m-1=m2-4m+4-1,
∴m2-5m+4=0,
∴m=4或m=1(舍去);
当P点坐标为时,
同理,,;
∵点Q在抛物线上,
∴;
∴16m2-65m+49=0,或m=1(舍去);
∴当m=4或时,AP与BQ互相平分,四边形ABPQ是平行四边形;
∴m=4或为所求.
(3)另解:可用AB=PQ=2,
∴或Q(m-2,4(m-1)),
∵点Q在抛物线上,
或4(m-2)2-4=4(m-1);
解之或m=1,或m=4或m=1,
∵m>1,
∴m=4或.
解析分析:(1)由于抛物线的顶点坐标在y轴上,且坐标为(0,-4),则抛物线的对称轴为y轴,即b=0,a=4,由此确定该抛物线的解析式.
(2)设出点P的纵坐标,根据抛物线的解析式,可求得B点的坐标,进而可得OC=4OB;△BOC和△ODB中,可用m表示出BD的长,若两个直角三角形相似,那么直角边对应成比例,即PD=4BD或BD=4PD,由此求得点P的纵坐标,进而可得到点P的坐标.
(3)若四边形ABPQ为平行四边形,那么PQ=AB=2,那么将点P的坐标向左平移2个单位即可得到点Q的坐标,然后将点Q的坐标代入抛物线的解析式中即可求得m的值.
点评:此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识;在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下,一定要注意分类讨论,以免漏解.
已知如图 抛物线y=ax2+bx-a的图象与x轴交于A B两点 点A在点B的左边 顶点坐标为C(0 -4) 直线x=m(m>1)与x轴交于点D.(1)求抛物线的解析式