问题补充:
如图1,在平面直角坐标系中,直线y=-x+m(m>0)与x轴,y轴分别交于点A,B,过点A作x轴的垂线交直线y=x于点D,C点坐标(m,0),连接CD.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)连接BC交OD于点H(如图2),求证:DH=BC;
(3)若m=2,E为射线AD上的一点,且AE=BE,F为EB延长线上的一点,连FA,作∠FAN交y轴于点N,且∠FAN=∠FBO(如图3),当点F在EB的延长线上运动时,NB-FB的值是否发生变化?若不变,请求出NB-FB的值;若变化,请求出其变化范围.
答案:
(1)证明:当x=0时,y=m,
当y=0时,-x+m=0,解得x=2m,
∴点A、B的坐标是A(2m,0),B(0,m),
∴OA=2m,OB=m,
∵C点坐标(m,0),
∴OC=m,AC=2m-m=m,
∴AC=OB,
∵D点在直线y=x,
∴OA=AD=2m,
又AD⊥x轴,
∴∠DAC=∠AOB=90°,
在△AOB与△DAC中,
,
∴△AOB≌△DAC(SAS),
∴∠ABO=∠DCA,
∵∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠BAO+∠DCA=90°,
∴CD⊥AB;
(2)证明:根据(1)的结论,OC=OB=m,
∴BC===m,
∵OA=AD=2m,
∴∠AOD=45°,
∴OH=OCsin45°=m,OD=OC÷cos45°=2m,
∴DH=OD-OH=2m-m=m,
∴==,
∴DH=BC;
(3)解:如图,取OC=OB,连接AC,根据对称性可得∠ABC=∠ACB,AB=AC,
∵AE=BE,
∴∠EAB=∠EBA,
∵E为射线AD上的一点,
∴AE∥y轴,
∴∠EAB=∠ABC,
∴∠ACB=∠EBA,
∴180°-∠EBA=180°-∠ACB,
即∠ABF=∠ACN,
∵∠FAN=∠FBO,
∴∠AFB=∠ANC,
在△ABF与△ACN中,
,
∴△ABF≌△ACN(AAS),
∴BF=CN,
∴NB-FB=NB-CN=BC=2OB,
∵OB=m,m=2,
∴NB-FB=2×2=4(是定值),
即当点F在EB的延长线上运动时,NB-FB的值不会发生变化.
解析分析:(1)根据直线y=-x+m可以求出OB=m,OA=2m,由C点坐标(m,0),可以求出OC=m,求出AC=m,得AC=OB,由D点在直线y=x上可以知道OA=AD,从而证明△AOB≌△DAC,然后根据全等三角形对应角相等可得∠ABO=∠DCA,从而可以推出∠BAO+∠DCA=90°,即可得出结论;
(2)由(1)可得OC=OB,利用勾股定理求出BC的长度,根据OA=AD可得∠AOD=45°,根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求出OH、OD,从而求出DH的长,两者相比即可得证;
(3)在y负半轴上取OC=OB,连接AC,根据对称性可得∠ABC=∠ACB,AB=AC,根据AE=BE可得∠EAB=∠EBA,又AE∥y轴,根据两直线平行,内错角相等可得∠EAB=∠ABC,从而得到∠ACB=∠EBA,根据等角的补角相等可得∠ABF=∠ACN,再根据∠FAN=∠FBO利用三角形的内角和定理可以求出∠AFB=∠ANC,然后证明△ABF与△ACN全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=CN,再根据(1)的结论即可得到NB-FB=NB-CN=2OB=2m=4,所以其值不会发生变化.
点评:本题综合考查了一次函数的问题,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,等边对等角的性质,综合性较强,难度较大,(3)中作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
如图1 在平面直角坐标系中 直线y=-x+m(m>0)与x轴 y轴分别交于点A B 过点A作x轴的垂线交直线y=x于点D C点坐标(m 0) 连接CD.(1)求证:C