问题补充:
已知函数f(x)=x2+ln(x-a)(a∈R).
(1)若f(x)有两个不同的极值点,求a的取值范围;
(2)当a≤-2时,g(a)表示函数f(x)在[-1,0]上的最大值,求g(a)的表达式;
(3)求证:.
答案:
解:(1)法一:∵f(x)=x2+ln(x-a)(a∈R),∴x>a,
∴=(x>a).
令g(x)=2x2-2ax+1,△=4a2-8=4(a2-2).
当△>0时,得或a.
若a,则f′(x)>0在x>a时恒成立,此时函数f(x)无极值点;
若,设g(x)=2x2-2ax+1=0的两根为x1,x2,且x1<x2.
∵,∴a<x1<x2,若下表:
∴当时,函数f(x)由两个极值点.
法二:=(x>a).
设g(x)=2x2-2ax+1,f(x)由两个极值点?g(x)=0由两个大于a的不等实数根x1,x2(x1<x2).
∴,解得,∴当时,函数f(x)由两个极值点.
(2)当a≤-2时,由(1)知,∴a<x1<-1<x2<0.
∴f(x)在[-1,x2]上为减函数,而在[x2,0]上为增函数,
∴f(x)在[-1,0]上的最大值是f(-1)和f(0)中的最大的那一个.
∵f(-1)=1+ln(-1-a),f(0)=ln(-a).
设h(a)=f(-1)-f(0)==.
∵a≤-2,∴,∴,故h(a)>0.
∴最大值为f(-1).
即g(a)=f(-1)=1+ln(-1-a)(a≤-2).
(3)由(2)可知:当a=-2时,f(x)=x2+ln(x+2)有最大值f(-1)=1+ln(-1+2)=1.
取,n∈N+.则.
即=.
法一:由=,
把n依次取n,n-1,…1得到n个不等式,再相加得:
ln(n+1)
≤=.
∴.
即.
法二:用数学归纳法证明:
①当n=1时,易知成立.
假设n=k时,不等式成立,即,(k∈N+)成立.
当n=k+1时,
=
=
<
<0(由归纳假设及.
所以当n=k+1时不等式也成立.
故得证.
解析分析:(1)f(x)有两个不同的极值点?f′(x)=0在定义域内有不同的两个实数根.(2)当a≤-2时,由(1)可知a<x1<-1<x2<0.及f(x)在[-1,x2]与[x2,0]上的单调性可得:f(x)在[-1,0]上的最大值是f(-1)和f(0)中的最大的那一个.(3)利用(2)的结论可得:=.把n依次取n,n-1,…1得到n个不等式,再相加即可得到.或利用上下归纳法也可证明.
点评:本题综合考查了利用导数解决含参数的函数的单调性和极值问题,熟练掌握导数、三个二次及分类讨论思想方法是解题的关键.
已知函数f(x)=x2+ln(x-a)(a∈R).(1)若f(x)有两个不同的极值点 求a的取值范围;(2)当a≤-2时 g(a)表示函数f(x)在[-1 0]上的最