问题补充:
已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形.PB=PD,E为PA的中点.
(Ⅰ)求证:PC∥平面BDE;
(Ⅱ)求证:平面PAC⊥平面BDE.
答案:
解:(Ⅰ)设O为AB、CD的交点,连接EO
∵E,O分别为PA,AC的中点,
∴EO∥PC.
∵EO?平面BDE,PC?平面BDE
∴PC∥平面BDE.…(6分)
(Ⅱ)证明:连接OP
∵PB=PD,O为BD的中点
∴OP⊥BD.
又∵在菱形ABCD中,BD⊥AC
且OP∩AC=O
∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面BDE
∴平面PAC⊥平面BDE.??…(13分)
解析分析:(I)设菱形对角线的交点为O,连接EO,可得OE是三角形APC的中位线,得到EO∥PC,结合直线与平面平行的判定定理,得到PC∥平面BDE;(II)连接PO,利用等腰三角形的中线与高合一,得到OP⊥BD.再根据菱形ABCD中,BD⊥AC,结合直线与平面垂直的判定定理,得到BD⊥平面PAC.最后用平面与平面垂直的判定定理,得到平面PAC⊥平面BDE.
点评:本题以四棱锥为例,考查了空间的直线与平面平行的判定,以及平面与平面垂直的判定,属于基础题.
已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形.PB=PD E为PA的中点.(Ⅰ)求证:PC∥平面BDE;(Ⅱ)求证:平面PAC⊥平面BDE.