问题补充:
已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于点D,连接BD.
(1)如图1,若BD:CD=3:4,AD=3,求⊙O的直径?AB的长;
(2)如图2,若E是BC的中点,连接ED,请你判断直线ED与⊙O的位置关系,并证明你的结论.
答案:
解:(1)如图,∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
则∠CDB=∠ADB=90°.
∴∠C+∠CBD=90°.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABD+∠CBD=90°.
∴∠C=∠ABD.
∴△ADB∽△BDC.
∴.
∵BD:CD=3:4,AD=3,
∴BD=4.
在Rt△ABD中,AB=;
(2)直线ED与⊙O相切.
证明:如图,连接OD.
由(1)得∠BDC=90°.
∵E是BC的中点,
∴DE=BE=BC,
∴∠EDB=∠EBD,
∵OB=OD,
∴∠ODB=∠OBD.
∵∠OBD+∠EBD=90°,
∴∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°.
∵点D在⊙O上,且OD⊥DE
∴ED是⊙O的切线.
解析分析:(1)证得△ADB∽△BDC,结合已知比例求得BD=4,在Rt△ABD中,从而得到AB的长;(2)连接OD,E是BC的中点,DE=BE,∠EDB=∠EBD.由∠OBD+∠EBD=90°,得到∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°,即得证.
点评:本题考查了相似三角形的判定和性质,(1)求得BD=4,在Rt△ABD中,从而得到AB的长;(2)即证明∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°即得证.
已知Rt△ABC中 ∠ABC=90° 以AB为直径作⊙O交AC于点D 连接BD.(1)如图1 若BD:CD=3:4 AD=3 求⊙O的直径?AB的长;(2)如图2 若