问题补充:
如图,△ABC内接于⊙O,弦AD⊥AB交BC于点E,过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F,且∠ABF=∠ABC.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AD=4,cos∠ABF=,求DE的长.
答案:
(1)证明:∵BF是⊙O的切线,
∴∠3=∠C,
∵∠ABF=∠ABC,
即∠3=∠2,
∴∠2=∠C,
∴AB=AC;
(2)解:如图,连接BD,在Rt△ADB中,∠BAD=90°,
∵cos∠ADB=,∴BD====5,
∴AB=3.
在Rt△ABE中,∠BAE=90°,
∵cos∠ABE=,∴BE===,
∴AE==,
∴DE=AD-AE=4-=.
解析分析:(1)由BF是⊙O的切线,利用弦切角定理,可得∠3=∠C,又由∠ABF=∠ABC,可证得∠2=∠C,即可得AB=AC;
(2)首先连接BD,在Rt△ABD中,解直角三角形求出AB的长度;然后在Rt△ABE中,解直角三角形求出AE的长度;最后利用DE=AD-AE求得结果.
点评:此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
如图 △ABC内接于⊙O 弦AD⊥AB交BC于点E 过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F 且∠ABF=∠ABC.(1)求证:AB=AC;(2)若AD=4 cos∠A