问题补充:
已知抛物线y=ax2-2ax+n(a>0)与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0),交y轴的负半轴于点C,且x1<x2,OC=OB,S△ABC=6
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若D为抛物线的顶点,P为抛物线上的点,且在第二象限,S△PBD=15,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点M,使△MBD为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的M点坐标,若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)易知:C(0,n),B(-n,0);
由题意知,抛物线的对称轴为:x=1;
故A(n+2,0),AB=-2n-2;
∴S△ABC=AB?OC=(-2n-2)(-n)=6,
即n2+n-6=0,
解得n=2(舍去),n=-3;
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3);
设抛物线的解析式为:y=a(x-3)(x+1),依题意有:
a(0-3)(0+1)=-3,即a=1;
∴该抛物线的解析式为:y=x2-2x-3.
(2)设点P的坐标为(a,a2-2a-3);
易知B(3,0),D(1,-4),
∴直线BD:y=2x-6;
过P作直线PE∥BD,交y轴于E,则S△PBD=S△BED,
设直线PE的解析式为y=2x+h,则有:
2a+h=a2-2a-3,h=a2-4a-3,
即直线PE:y=2x+a2-4a-3,
则E(0,a2-4a-3);
过D作DF⊥y轴于F,则有:
DF=1,OF=4,EF=a2-2a-3+4=a2-2a+1;
∴S△EBD=S△EOB+S梯形OBDF-S△EDF
=×(a2-2a-3)×3+×(1+3)×4-×(a2-2a+1)=15,
即a2-4a-12=0,
解得a=6(舍去),a=-2;
∴P(-2,5).
(3)假设存在符合条件的M点;
已知B(3,0),C(0,-3),D(1,-4);
①以M为直角顶点;
连接BC、CD;
则BC=3,CD=,BD=2;
∴BC2+CD2=18+2=20=BD2,
即△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°;
此时M、C重合,
故M(0,-3);
②以B为直角顶点;
由(2)知,直线BD:y=2x-6;
可设直线BM:y=-x+h,由于点B(3,0),
则有:-+h=0,
即h=,
∴直线BM:y=-x+;
联立抛物线的解析式有:
,
解得(舍去),;
∴M(-,);
③以D为直角顶点,同②可求得M(,-).
综上可知,存在符合条件的M点,且坐标为:M1(0,-3),M2(-,),M3(,-).
解析分析:(1)根据抛物线的解析式,可用n表示出C、B的坐标(OB=OC),易求得抛物线的对称轴方程,根据点B的坐标即可求得点A的坐标,从而得到AB的长,利用△ABC的面积即可求得n的值,从而求出A、B、C的坐标,代入抛物线的解析式中,即可求得待定系数的值,从而确定该抛物线的解析式.
(2)根据(1)题所得抛物线的解析式,即可求得点D的坐标;由于△PBD的面积无法直接求出,需要通过其他图形来间接获得,过P作直线PE∥BD,那么△PBD、△EBD就同底等高,所以面积相等;易求得直线BD的解析式,设出点P的坐标,即可求得PE的函数解析式,从而得到点E的坐标;过D作DF⊥y轴于F,△EBD的面积,可由△EOB、梯形FDBO的面积和减去△EDF的面积获得,根据已知的△PBD的面积(即△EBD的面积)可得到关于P点横坐标的方程,从而求出点P的坐标.
(3)此题应分作三种情况考虑:
①以M为直角顶点,连接CD、BD,根据B、C、D的坐标,易求得BC、CD、BD的长,根据勾股定理逆定理,可求得此时△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°,此时点C满足点M的要求;
②以B为直角顶点,已求得直线BD的解析式,由于BM⊥BD,那么直线BM的斜率与直线BD的斜率的乘积为-1,结合点B的坐标,可求得直线BM的解析式,联立抛物线的解析式,即可求得点M的坐标;
③以D为直角顶点,方法同②.
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象交点坐标的求法、直角三角形的判定等知识.在所求图形面积不规则时,一定要设法将其转化为其他规则图形面积的和差来解;在(3)题中,要根据不同的直角顶点分类讨论,以免漏解;此题的综合性较强,难度很大.
已知抛物线y=ax2-2ax+n(a>0)与x轴交于A(x1 0) B(x2 0) 交y轴的负半轴于点C 且x1<x2 OC=OB S△ABC=6(1)求此抛物线的解