问题补充:
如图(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止,点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止.设P、Q同时出发t秒时,
△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(其中曲线OG为抛物线的一部分,其余各部分均为线段),则下列结论:
①当0<t≤5时,y=t2;②当t=6秒时,△ABE≌△PQB;③cos∠CBE=;④当t=秒时,△ABE∽△QBP;
其中正确的是A.①②B.①③④C.③④D.①②④
答案:
D
解析分析:根据图(2)可以判断三角形的面积变化分为四段,①当点P在BE上运动,点Q到达点C时;②当点P到达点E时,点Q静止于点C,从而得到BC、BE的长度;③点P到达点D时,点Q静止于点C;④当点P在线段CD上,点Q仍然静止于点C时.
解答:
根据图(2)可得,当点P到达点E时点Q到达点C,
∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒
∴BC=BE=10,
∴AD=BC=10.
又∵从M到N的变化是4,
∴ED=4,
∴AE=AD-ED=10-4=6.
∵AD∥BC,
∴∠1=∠2,
∴cos∠1=cos∠2===.
故③错误;
如图1,过点P作PF⊥BC于点F,
∵AD∥BC,
∴∠1=∠2,
∴sin∠1=sin∠2===,
∴PF=PB?sin∠1=t,
∴当0<t≤5时,y=BQ?PF=×2t×t=t2,故①正确;
如图3,当t=6秒时,点P在BE上,点Q静止于点C处.
在△ABE与△PQB中,,
∴△ABE≌△PQB(SAS).
故②正确;
如图4,当t=秒时,点P在CD上,此时,PD=-BE-ED=-10-4=,
PQ=CD-PD=8-=,
∵==,==,
∴=
又∵∠A=∠Q=90°,
∴△ABE∽△QBP,故④正确.
综上所述,正确的结论是①②④.
故选D.
点评:本题考查了动点问题的函数图象,根据图(2)判断出点P到达点E用了10s,点Q到达点C用了5s是解题的关键,也是本题的突破口.
如图(1)所示 E为矩形ABCD的边AD上一点 动点P Q同时从点B出发 点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止 点Q以2cm/秒的速度沿BC运