已知函数f（x）=（x＞0）．（1）试判断函数f（x）在（0 +∞）上单调性并证明你的结论

问题补充：

已知函数f（x）=（x＞0）．

（1）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；

（2）若f（x）＞恒成立，求整数k的最大值；

（3）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e2n-3．

答案：

解：解：（1）∵f（x）=（x＞0），

∴f′（x）=[]=[]…（2分）

∵x＞0，∴x2＞0，，ln（x+1）＞0，∴f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．…（4分）

（2）f（x）＞恒成立，即h（x）=＞k恒成立，

即h（x）的最小值大于k．…（6分）

而h′（x）=，令g（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），

则g′（x）=，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，

又g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，

∴g（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（2，3），a=1+ln（a+1）

当x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当0＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，

∴h（x）min=h（a）==a+1∈（3，4）

故正整数k的最大值是3????…（10分）

（3）由（Ⅱ）知（x＞0）

∴ln（x+1）＞-1=2-＞2-???…（12分）

令x=n（n+1）（n∈N*），则ln[1+n（n+1）]＞2-，

∴ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]

＞（2-）+（2-）+…+[2-]

=2n-3[]

=2n-3（1-）=2n-3+＞2n-3

∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e2n-3??…（16分）

解析分析：（1）对函数f（x）求导数，可判f′（x）＜0，进而可得单调性；（2）问题转化为h（x）=＞k恒成立，通过构造函数可得h（x）min∈（3，4），进而可得k值；（3）由（Ⅱ）知（x＞0），可得ln（x+1）＞2-，令x=n（n+1）（n∈N*），一系列式子相加，由裂项相消法可得ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞2n-3，进而可得

已知函数f（x）=（x＞0）．（1）试判断函数f（x）在（0 +∞）上单调性并证明你的结论；（2）若f（x）＞恒成立 求整数k的最大值；（3）求证：（1+1×2）（1