问题补充:
已知函数f(x)=m(x-1)2-2x+3+lnx,m∈R.
(1)当m=0时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当m>0时,若曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求实数m的值.
答案:
解:(1)当m=0时,函数f(x)=-2x+3+lnx
由题意知x>0,f′(x)=-2+=,令f′(x)>0,得0<x<时,
所以f(x)的增区间为(0,).
(2)由f′(x)=mx-m-2+,得f′(1)=-1,
知曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y=-x+2,于是方程:-x+2=f(x)即方程 m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一个实数根;设g(x)=m(x-1)2-x+1+lnx,(x>0).
则g′(x)==,①当m=1时,g′(x)=≥0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,且g(1)=0,故m=1符合题设;②当m>1时,由g′(x)>0得0<x<或x>1,
由g′(x)=<0得<x<1,
故g(x)在区间(0,),(1,+∞)上单调递增,在( 1,)区间单调递减,
又g(1)=0,且当x→0时,g(x)→-∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点,故m>1不合题意;
③当0<m<1时,由g′(x)=>0得0<x<1或x>,
由g′(x)=<0得1<x<,
故g(x)在区间(0,1),(1,)上单调递增,在(,+∞)区间单调递减,
又g(1)=0,且当x→0时,g(x)→+∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点,故0<m<1不合题意;
∴由上述知:m=1.
解析分析:(1)求出f′(x),在定义域内解不等式f′(x)>0,即得f(x)的单调增区间;(2)先求切线方程为y=-x+2,再由切线L与C有且只有一个公共点,转化为m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一个实数解,从而可求实数m的范围.
点评:本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题,考查分析问题解决问题的能力,考查转化思想.
已知函数f(x)=m(x-1)2-2x+3+lnx m∈R.(1)当m=0时 求函数f(x)的单调增区间;(2)当m>0时 若曲线y=f(x)在点P(1 1)处的切线