问题补充:
已知函数,若函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为A.B.an=n(n-1)C.an=n-1D.
答案:
C
解析分析:根据函数的零点的定义,构造两函数图象的交点,交点的横坐标即为函数的零点,再通过数列及通项公式的概念得所求的解.
解答:当x∈(-1,0]时,由g(x)=f(x)-x=x3-x=0,可得x=0,故函数g(x)=f(x)-x的零点为 x=0.当x∈(0,1]时,x-1∈(-1,0],f(x)=f(x-1)+1=(x-1)3+1,由g(x)=f(x)-x=(x-1)3+1-x=0 求得 x=1,故函数g(x)=f(x)-x的零点为 x=1.当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],f(x)=f(x-1)+1=(x-2)3+1+1=(x-2)3+2,由g(x)=f(x)-x=(x-2)3+2-x=0 求得 x=2,故函数g(x)=f(x)-x的零点为 x=2.以此类推,当x∈(2,3],x∈(3,4],…,x∈(n,n+1]时,函数g(x)对应的零点分别为x=3,x=4,…,x=n+1.故所有的零点从小到大依次排列为0,1,2,…,n+1.其对应的数列的通项公式为an=n-1.故选 C.
点评:本题主要考查了函数零点的概念及零点的求法、数列的概念及简单表示;培养学生观察、分析、归纳、推理的能力;解题中使用了数形结合及分类讨论的数学方法和数学思想,属于中档题.
已知函数 若函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列 则该数列的通项公式为A.B.an=n(n-1)C.an=n-1D.