在平面直角坐标系中 点O是坐标原点 点P（m -1）（m＞0）．连接OP 将线段OP绕点O按

问题补充：

在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点P（m，-1）（m＞0）．连接OP，将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM，且点M是抛物线y=ax2+bx+c的顶点．

（1）若m=1，抛物线y=ax2+bx+c经过点（2，2），当0≤x≤1时，求y的取值范围；

（2）已知点A（1，0），若抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点，请判断△BOM的形状，并说明理由．

答案：

解：（1）∵线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM

∴∠POM=90°，OP=OM

过点P（m，-1）作PQ⊥x轴于Q，过点M作MN⊥y轴于N，

∵∠POQ+∠MOQ=90°

∠MON+∠MOQ=90°

∴∠MON=∠POQ

∴∠ONM=∠OQP=90°

∴△MON≌△OPQ

∴MN=PQ=1，ON=OQ=m

∴M（1，m）

∵m=1

∴M（1，1）

∵点M是抛物线y=a（x-1）2+1

∵抛物线经过点（2，2）

∴a=1

∴y=（x-1）2+1

∴此抛物线开口向上，对称轴为x=1

∴当x=0时，y=2，

当x=1时，y=1

∴y的取值范围为1≤y≤2．

（2）∵点M（1，m）是抛物线y=ax2+bx+c的顶点

∴可设抛物线为y=a（x-1）2+m

∵y=a（x-1）2+m=ax2-2ax+a+m

∴B（0，a+m）

又∵A（1，0）

∴直线AB的解析式为y=-（a+m）x+（a+m）

解方程组

得ax2+（m-a）x=0

∵直线AB与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点，

∴△=（m-a）2=0

∴m=a

∴B（0，2m）．

在Rt△ONM中，由勾股定理得

OM2=MN2+ON2=1+m2

∴BM=OM

∴△BOM是等腰三角形．

解析分析：（1）分别过P、M作x、y轴的垂线，设垂足为Q、N；通过证△MON≌△OPQ，可求出MN、ON的长，即可得到M点的坐标；根据M点的坐标，即可求出抛物线的解析式；结合自变量的取值范围及抛物线的对称轴方程即可求得y的取值范围；

（2）在（1）中已经求得M（1，m），可用a、m表示出抛物线的解析式（顶点式），进而可求出B点的坐标；用待定系数法即可得到直线AB的解析式，联立直线AB与抛物线的解析式，由于两个函数只有一个交点，那么所得方程的△=0，由此可求出m、a的关系式，即可用m表示出B点的坐标，然后分别求出△BOM的边长，然后判断△BOM的形状．

点评：此题考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、函数图象交点坐标的求法以及等腰三角形的判定等知识．

在平面直角坐标系中 点O是坐标原点 点P（m -1）（m＞0）．连接OP 将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM 且点M是抛物线y=ax2+bx+c的顶点